Нахождение координат точки

Нахождение координат точки, делящей отрезок в данном отношении, примеры и решения

Применим полученные в теоретической части, в пунктах 1.3, 1.4, формулы при нахождении координат точки, делящей отрезок в заданном отношении. Рассмотрим решения наиболее часто встречающихся задач по этой теме.

Задача 1.

Найдите координаты точки С, которая делит отрезок АВ в отношении пять к трем, если A (11,1,0), B (-9,2,-4).

Решение: По условию =. Применим формулы для нахождения координат точки С, делящей отрезок АВ в отношении =, по известным координатам концов отрезка:

Ответ: С (-, ,-).

геометрический отрезок менелай чева Задача 2.

Точка С (2,-5) делит отрезок АВ в отношении. Определите координаты точки А, если В (1,0).

Решение: В данном примере =. Так как точка С делит отрезок АВ в данном отношении, то справедливы формулы x_C = и y_C =, из которых получаем x_A = (1 +)x_C — x_B и y_A = (1 +)y_C — y_B соответственно. Подставляем значения из условия и вычисляем искомые координаты точки А:

Ответ: A (,-).

Одной из самых характерных задач, в которой приходится вычислять координаты точки, делящей отрезок в заданном соотношении, является задача на нахождение центра тяжести треугольника.

Известно, что центром тяжести треугольника является точка пересечения его медиан (обозначим ее как М), а каждая из медиан делится точкой М в отношении 2 к 1, считая от вершины треугольника. Поэтому, если нам известны координаты точек, которые являются концами медианы, то мы можем найти координаты точки, делящей медиану в отношении два к одному.

Задача 3.

Найдите координаты центра тяжести треугольника АВС, если известны координаты его вершин A (2,3,1), B (4,1,-2), C (-5,-4,8).

Решение:

Пусть АD — медиана треугольника АВС, а точка M (x_M, y_M, z_M) — центр тяжести этого треугольника.

Точка М является точкой пересечения медиан треугольника АВС, следовательно, точка М делит отрезок AD в отношении два к одному, то есть, л = 2. Тогда мы можем найти координаты точки М по формулам x_M =, y_M =, z_M =. Однако мы не знаем координаты точки D. Найдем их.

Так как AD — медиана треугольника АВС, то D — середина стороны ВС, следовательно, координаты точки D равны полусуммам соответствующих координат точек В и С (по теореме о нахождении координат середины отрезка):

Осталось вычислить искомые координаты центра тяжести треугольника:

Ответ: (, 0,).