Арифметические операции в позиционных системах счисления

Рассмотрим основные арифметические операции: сложение, вычитание, умножение и деление. Правила выполнения этих операций в десятичной системе хорошо известны — это сложение, вычитание, умножение столбиком и деление углом. Эти правила применимы и ко всем другим позиционным системам счисления.

Сложение При сложении цифры суммируются по разрядам, и если при этом возникает избыток, то он переносится влево.

Пример: Сложим числа 15 и 6 в шестнадцатеричной системе счисления: F16 + 61 615 + 6 = 2110 = 101 012 = 258;

Ответ: = 1516.

Проверка. Преобразуем полученные суммы к десятичному виду:

• 101 012= 24 + 22 + 20 = 16+4+1=21,
• 258 = 2*81 + 5*80 = 16 + 5 = 21,
• 1516 = 1*161 + 5*160 = 16+5 = 21.

Вычитание.

Пример: Вычтем единицу из чисел 102, 108 и 1016.

Вычтем единицу из чисел 1002, 1008 и 10 016.

Вычтем число 59,75 из числа 201,25.

Ответ: 201,2510 — 59,7510 = 141,510 = 10 001 101,12 = 215,48 = 8D, 816.

Проверка: Преобразуем полученные разности к десятичному виду:

• 10 001 101,12 = 27 + 23 + 22 + 20 + 2−1 = 141,5;
• 215,48 = 2*82 + 1*81 + 5*80 + 4*8−1 = 141,5;
• 8D, 816 = 8*161 + D*160 + 8*16−1 = 141,5.

Умножение.

Выполняя умножение многозначных чисел в различных позиционных системах счисления, можно использовать обычный алгоритм перемножения чисел в столбик, но при этом результаты перемножения и сложения однозначных чисел необходимо заимствовать из соответствующих рассматриваемой системе таблиц умножения и сложения. Ввиду чрезвычайной простоты таблицы умножения в двоичной системе, умножение сводится лишь к сдвигам множимого и сложениям.

Пример: Перемножим числа 5 и 6.

Ответ: 5*6 = 3010 = 111 102 = 368.

Проверка: Преобразуем полученные произведения к десятичному виду:

111 102 = 24 + 23 + 22 + 21 = 30; 368 = 3*81 + 6*80 = 30.

Пример: Перемножим числа 115 и 51.

Ответ: 115*51 = 586 510 = 10 110 111 010 012 = 133 518.

Проверка: Преобразуем полученные произведения к десятичному виду:

• 10 110 111 010 012 = 212 + 210 + 29 + 27 + 26 + 25 + 23 + 20 = 5865;
• 133 518 = 1*84 + 3*83 + 3*82 + 5*81 + 1*80 = 5865.

Деление Деление в любой позиционной системе счисления производится по тем же правилам, как и деление углом в десятичной системе. В двоичной системе деление выполняется особенно просто, ведь очередная цифра частного может быть только нулем или единицей.

Пример: Разделим число 30 на число 6.

Ответ: 30: 6 = 510 = 1012 = 58.

Пример: Разделим число 5865 на число 115.

Восьмеричная: 133 518 :1638.

Ответ: 5865: 115 = 5110 = 1 100 112 = 638.

Проверка: Преобразуем полученные частные к десятичному виду:

1 100 112 = 25 + 24 + 21 + 20 = 51; 638 = 6*81 + 3*80 = 51.