Двумерные матричные преобразования

Рассмотрим преобразования координат точек на плоскости. На рис. 22 точка перенесена в точку .

Математически этот перенос можно описать с помощью вектора переноса. Пусть радиус вектор, соответствующий вектору переноса. Тогда переход из точки в точку будет соответствовать векторной записи. Отсюда получаем, что для переноса точки в новое положение необходимо добавить к ее координатам некоторые числа, которые представляют собой координаты вектора переноса:

Масштабированием объектов называется растяжение объектов вдоль соответствующих осей координат относительно начала координат. Эта операция применяется к каждой точке объекта, поэтому можно также говорить о масштабировании точки. При этом, конечно, речь не идет об изменении размеров самой точки. Масштабирование достигается умножением координат точек на некоторые константы. В том случае, когда эти константы равны между собой, масштабирование называется однородным. На рис. 23 приведен пример однородного масштабирования треугольника .

После применения операции однородного масштабирования с коэффициентом 2 он переходит в треугольник. Обозначим матрицу масштабирования. Для точек и операция масштабирования в матричном виде будет выглядеть следующим образом:

.

Рассмотрим далее операцию вращения точки на некоторый угол относительно начала координат. На рисунке 24 точка переходит в точку поворотом на угол .

Найдем преобразование координат точки, А в точку В. Обозначим угол, который составляет радиус-вектор с осью Оx. Пусть r — длина радиус-вектора, тогда.

Так как и, то подставляя эти выражения в уравнения для и, получаем:

В матричном виде вращение точки, А на угол выглядит следующим образом:

Однородные координаты и матричное представление двумерных преобразований В предыдущем параграфе были рассмотрены три вида преобразований точек на плоскости. Два из них — операции вращения и масштабирования — описываются в виде произведения матрицы на вектор, а третья — операция переноса — описывается как сумма двух векторов. В случае последовательного выполнения любой комбинации операций вращения и масштабирования результат легко можно записать в виде произведения матриц соответствующих преобразований. Это будет матрица результирующего поворота и масштабирования. Очевидно, что удобнее применять результирующую матрицу вместо того, чтобы каждый раз заново вычислять произведение матриц. Однако, таким способом нельзя получить результирующую матрицу преобразования, если среди последовательности преобразований присутствует хотя бы один перенос. Матричное произведение в компьютерной графике также называют композицией. Было бы удобнее иметь математический аппарат, позволяющий включать в композиции преобразований все три выше указанные операции. При этом получился бы значительный выигрыш в скорости вычислений. Однородные координаты и есть этот математический аппарат.

Двумерный вектор в однородных координатах записывается в виде, где. Число называется масштабным множителем. Для того, чтобы из вектора, записанного в однородных координатах получить вектор в обычных координатах необходимо разделить первые две координаты на третью: .

В общем случае осуществляется переход от n-мерного пространства к.

— мерному. Это преобразование не единственное. Обратное преобразование называется проекцией однородных координат*^* Более строгое определение однородных координат дается в разделе линейной алгебры «Проективные пространства». .

Рассмотрим некоторые свойства однородных координат. Некоторые точки, неопределенные в n-мерном пространстве, становятся вполне определенными при переходе к однородным координатам. Например, однородный вектор в трехмерном пространстве соответствует бесконечно удаленной точке. Поскольку в однородных координатах эту точку можно представить в виде, при, то в трехмерном пространстве это соответствует точке .

Рассмотрим точку трехмерного пространства. Если представить эту точку как однородное представление точки двумерного пространства, то ее координаты будут. Сравнивая эти координаты со вторым видом формул, выведенных для центральной перспективной проекции, легко заметить, что двумерное представление точки с координатами выглядит как ее проекция на плоскость, как показано на рис. 25.

Аналогично, рассматривая применение однородных координат для векторов трехмерного пространства, можно представить трехмерное пространство как проекцию четырехмерного пространства на гиперплоскость, если .

В однородных координатах преобразование центральной перспективы можно определить матричной операцией. Эта матрица записывается в виде:

Покажем, что эта матрица определяет преобразование точки объекта, заданной в однородных координатах, в точку перспективной проекции (также в однородных координатах). Пусть — точка в трехмерном пространстве. Ее однородное представление. Умножим v на P:

_ это в точности повторяет формулы (1), выведенные для центральной перспективы.

Теперь точки двумерного пространства будут описываться трехэлементными вектор-строками, поэтому и матрицы преобразований, на которые будет умножаться вектор точки, будут иметь размеры 33. Запишем матричное преобразование операции переноса для однородных координат:

или, где .

При последовательном переносе точки в точку и затем в точку компоненты суммарного вектора переноса являются суммами соответствующих компонент последовательных векторов переноса. Рассмотрим, каковы будут элементы матрицы суммарного переноса. Пусть,. Подставив первое уравнение во второе получаем. Матричное произведение т. е. суммарный перенос равен произведению соответствующих матриц переноса.

Запишем матричный вид операции масштабирования.

.

Определим матрицу масштабирования.

Так же, как последовательные переносы являются аддитивными, покажем, что последовательные масштабирования будут мультипликативными.

Для операции поворота матричный вид будет такой:

Определим матрицу поворота.

Аналогично двум предыдущим случаям, покажем, что матрица поворота остается таковой при последовательных поворотах.

Таким образом, доказано, что два, а значит и любое количество последовательных поворотов можно записать в виде одной матрицы суммарного поворота. Также легко заметить что любая последовательность операций, включающая в себя перенос, масштабирование и вращение в однородных координатах, может быть представлена одной матрицей, которая является произведением матриц данных операций.

Рассмотрим, каким образом с помощью композиции матричных преобразований можно получить одно общее результирующее преобразование. Для этого будем использовать матрицы T, S и R. С вычислительной точки зрения гораздо проще и быстрее применять матрицу уже готового преобразования вместо того, чтобы применять их последовательно одну за другой. К точке более эффективно применять одно результирующее преобразование, чем ряд преобразований друг за другом.

Для примера рассмотрим задачу поворота объекта на плоскости относительно некоторой произвольной точки. Пока мы умеем поворачивать объекты только вокруг начала координат. Но можно представить эту задачу как последовательность шагов, на каждом из которых будет применяться только элементарная операция: перенос, масштабирование или вращение.

Вот эта последовательность элементарных преобразований (рис. 26):

Перенос, при котором точка переходит в начало координат.

Поворот на заданный угол.

Перенос, при котором точка из начала координат возвращается в первоначальное положение .

Точка. Первый перенос производится на вектор, а обратный перенос _ на вектор .