Наименьшее и наибольшее значения функции

Человеку часто приходится решать задачи оптимизации своей деятельности: или при наименьших затратах сил, средств и материалов получить заданный результат (например, изготовить металлическую емкость заданного объема, израсходовав наименьшее количество материала), или при заданных исходных данных получить наилучший (максимальный) результат (например, из данного листа металла изготовить емкость максимального объема).

Если зависимость между исходными и выходными данными задана функцией, то задача формулируется как поиск наименьшего и наибольшего значения этой функции в заданной области.

В реальных условиях исходные данные имеют ограниченный диапазон изменения, который и определяет эту область.

Рассмотрим, например, задачу: найти стороны х и y прямоугольника, имеющего при данном периметре p максимальную площадь.

Дано: Пусть S — площадь прямоугольника, тогда S = ху .

Из условия известно, что 2(х + у) = р. Тогда Тогда S=x (- x) — функция одной переменной х.

Так как S? 0, то 0 р? х? и и задача ставится следующим образом: найти максимальное значение функции S (x)=x (- x) на отрезке [0; ].

Процесс нахождения наименьшего (наибольшего) значения функции на отрезке определяется, во многом, свойствами самой функции. Так, если функция непрерывна на отрезке, то она достигает на этом отрезке своего наибольшего и наименьшего значения (теорема Вейерштрасса), т. е. решение задачи существует.

Поиск этого решения существенно упрощается, если дополнительно известно, что на этом отрезке функция монотонна:

возрастает при х2 > х1 ?(х2) > ?(х1) или убывает при х2 > х1 ?(х2) < ?(х1).

В случае? (х), возрастающей на [a, b],? (а) будет ее наименьшим, а? (b) — наибольшим значениями; в случае f (х), убывающей на [a, b], f (а) — наибольшее, а f (b) — наименьшее значения (рис. 2).

Если же (рис. 3) в точке х1?(а, b) меняется характер монотонности функции: возрастание — на убывание (? (х)) или наоборот (f (х)), а других — таких точек нет, то наибольшее и наименьшее значения функции выбираются путем сравнения значений f (a), f (x) и f (b) или ?(а), ?(х1) и ?(b).

Вообще, если непрерывная функция f (x) имеет на отрезке [а, b] конечное число точек х1, х2, …, хn, в которых меняется характер монотонности, то, сравнивая значения функции в этих точках, а также в граничных х = а и х = b, можно определить наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке [a, b].

Точки, в которых меняется характер монотонности, являются так называемыми точками экстремума: максимума, если при возрастании аргумента возрастание функции меняется на убывание, и минимума, если убывание изменяется на возрастание. Определить точки, которые будут точками экстремума, можно, используя теорему (необходимое условие экстремума): если — точка экстремума для функции f (x), то производная f? ()или равна нулю, или не существует.

Достаточным же условием экстремума является смена знака производной в окрестности точки х0, где f? = 0 или не существует. При смене знака с «+» на «-» х0 — точка максимума, если наоборот, то минимума.

В подавляющем большинстве практических экономических задач точка экстремума на отрезке, где исследуется функция, одна, поэтому, определив ее характер (минимум или максимум), мы одновременно определим точку, где функция принимает, соответственно, наименьшее или наибольшее значения.

Пример. Исследуется функция y = на отрезке [0, 3].

Решение. Найдем производную y' = 2 (х — 2); y' = 0 при х = 2.

При х < 2 y' 2 у' > 0, поэтому х = 2 — точка минимума и функция y = достигает в этой точке наименьшего значения.

Действительно, сравнивая значения f (0) = = 4, f (2) = = 0 и f (3) = = 1, определяют, что в точке х = 2 функция достигает наименьшего значения.

Подытожив все теоретические выдержки, можно наметить схему решения задач на наибольшее и наименьшее значения:

• 1) построить математическую модель задачи (найти функцию f (x));
• 2) определить отрезок [a, b], исходя из условий задачи;
• 3) найти точки х1, …, хn интервала (а, b), в которых производная функции равна нулю или не существует;

4) вычислить значения f (a), f (), …, f (n), f (b), сравнить и выбрать из них наибольшее и наименьшее.

Примеры решения задач Какими должны быть размеры жестяной консервной банки заданного объема V, чтобы затраты металла на ее изготовление были минимальными?

Определить, на что должна быть ориентирована технология изготовления банок, чтобы быть рентабельной.

Решение. При изготовлении банки заданного объема V оптимальными будут такие ее размеры, при которых на ее изготовление пойдет минимальное количество материала, т. е. площадь полной поверхности банки S должна быть минимальной.

Пусть банка представляет собой прямой круговой цилиндр с высотой h и радиусом основания r. Тогда S = 2р + 2рrh.

Найдем соотношение между h и r, при котором площадь полной поверхности будет наименьшей.

Так как V=рh, то h= и тогда S® = 2р+ - функция одной переменной r. Очевидно, что область.

определения и непрерывности функции S есть интервал (0; +?), а не отрезок, поэтому ответа на вопрос о существовании решений мы дать не можем (не выполнены условия теоремы Вейерштрасса). Однако попробуем воспользоваться указанной выше схемой, заменив вычисление значений функции на концах отрезка исследованием ее поведения на границах области определения.

Очевидно, что при r > 0 и при r > +? функция S ® > +?.

Найдем производную функции S: S?® = 4рr — .

Производная S?® существует во всех точках интервала (0, +?) и обращается в нуль в единственной точке r= из этого интервала. Поэтому S может менять характер монотонности только при r = =.. С учетом соотношений (1) заключаем, что в этой точке S имеет наименьшее значение.

При r =.

Следовательно, если процесс изготовления жестяных банок технологией ориентирован на то, что высота банки в два раза больше радиуса оснований, то при заданном объеме банки ее полная поверхность будет наименьшей и такую технологию можно считать самой рентабельной (по затратам металла).