Диэлектрический шар во внешнем однородном поле

Рассмотрим точно решаемую задачу сформулированного в пункте 1 типа. Пусть дана диэлектрическая среда с проницаемостью, в которую вложена полость с проницаемостью (Рис. 3).

Если бы шаровая полость отсутствовала, то в исходной среде с проницаемостью было бы однородное поле напряженности. Операция по вырезанию шара и заполнению его диэлектриком с проницаемостью приведет к искажению первоначального электрического поля.

Цель настоящего рассмотрения — решение простейшей задачи электростатики кусочно-однородных сред и демонстрация на ее примере алгоритма решения таких задач. Результат решения поставленной задачи далее будет использован при изучении условий упорядочения плотных сред.

Будем рассматривать решение поставленной задачи как основу некоторой физической теории плотных сред.

Решение.

Проинтегрируем уравнения Лапласа.

(11).

для области, изображенной на Рис. 3.

Информация об источнике поля содержится при лишь в асимптотических граничных условиях. Действительно в среде при существует однородное электрическое поле, если начало координат совмещено с центром шара.

(12).

Учтем граничные условия на поверхности шара.

(13).

В последнем равенстве фигурируют производные взятые от потенциала внутри и вне полости; - бесконечно-малая величина.

Используем, как и в аналогичной задаче электростатике проводников (смотреть § 9), условие азимутальной симметрии шаровых функций.

(14).

По этим же причинам сразу ищем решение в виде.

(15).

В принципе изучается не одно,.

а два уравнения Лапласа для сред 1 и 2.

Для каждой из сред решение ищем в виде.

(16).

Формальные операции, которые необходимо проделать с уравнениями Лапласа здесь те же, что и в § 9 «Электродинамика проводников». Разница двух задач проявится лишь в граничных условиях. Решая в каждой из сред уравнения Лапласа для потенциала и, вводим для констант индексы 1 или 2 принадлежности к соответствующей среде. После этого проделываем аналогично § 9 всю формальную операцию построения общего решения.

Выпишем явно радиальные части построенных решений.

(решение в шаре) (17).

(решение вне шара) (18).

Свойства решений определяются лишь самими уравнениями Лапласа, а их конкретный вид — граничными (13) и асимптотическими (12) граничными условиями. Учтем, что начало координат выбрано в центре шара, а также асимптотические граничные условия, состоящие в том, что потенциал вне шара должен стремиться к потенциалу без шара однородного поля. Рассматриваемый шар не заряжен. Поэтому среди функций, искажающих поле, отсутствует кулоновский член вида (в виду). Искажение же кулоновского поля не может, поэтому, описываться формулой Кулона. Асимптотическое граничное условие также требует отсутствия высоких степеней роста потенциала поля при. Тогда.

при (19).

Итого вне шара разложение потенциала в ряд по степеням должно иметь вид:

(20).

Аналогично построим решение внутри шара. С учетом его электронейтральности получаем следующее разложение:

(21).

Заметим, что в (21) отброшены все нефизические члены, обращающиеся в бесконечность в центре шара — точке. Сингулярное поведение потенциала в этой точке будем считать нефизическим. Это приводит к условиям на коэффициенты разложения решения (18).

при.

Осталось использовать граничные условия для нахождения связи между коэффициентами.

I) (22).

Приравняем члены при одинаковых независимых линейно шаровые функциях.

(23).

II).

(24).

Проанализируем последние уравнения в цепочках равенств I) и II). Согласно (23) коэффициенты, имеют одинаковые знаки; согласно (24) их знаки противоположны. Значит эти коэффициенты равны нулю .

Казалось бы, два другие уравнения есть два уравнения для трех неизвестных диэлектрический прокладка упорядочение шар

,. Однако эти неизвестные связаны асимптотическим граничным условием (13) для внешнего поля.

(25).

Откуда следует, что.

(26).

то есть найден один из искомых коэффициентов. Подставим (26) в оставшиеся два уравнения систем (23), (24) и получим.

(27).

(28).

Решая эту систему линейных алгебраических уравнений, получаем.

(29).

(30).

Итак, поле до помещения в него диэлектрического шара имело вид:

Конечное же поле, искаженное диэлектрическим шаром есть.

(31).

(32).

Замечаем, что поле вне шара вновь приобрело дипольный момент.

(33) где.

.

То есть поле вне шара складываются из исходного однородного поля и поля электрического диполя.

Поляризуемость среды в этом случае есть.

(34).

Коэффициент, выписанный здесь, есть поляризуемость диэлектрического шара. Отметим, что поляризуемость шара пропорциональна его объему.

(35).

Запомним этот результат и отметим, что в данном примере поляризуемость также, как это было в проводнике (§ 9) пропорционально объему. Это означает, что задачи о поле незаряженного проводника и диэлектрика имеют общую физическую основу. Действительно, в проводнике перераспределяются свободные заряды, а в диэлектрике — связанные. Этот механизм и приводит к образованию дипольного момента.

Итак, во внешних полях проводник и диэлектрик приобретает сходные свойства.