Линейный диф оператор

Примеры дифференциальных операторов Дифференциальные операторы представляют собой обобщение операции дифференцирования. Простейший дифференциальный оператор D, действуя на функцию y, «возвращает» первую производную этой функции:

Двукратное применение операции D позволяет получить вторую производную функции y (x):

Аналогично, n-ая степень оператора D приводит к n-ой производной:

Здесь мы предполагаем, что функция y (x) является n раз дифференцируемой и определенной на множестве действительных чисел. Сама функция y (x) может принимать комплексные значения. Дифференциальные операторы могут иметь и более сложный вид? в зависимости от образующих их дифференциальных выражений. Так например, в векторном анализе часто встречается дифференциальный оператор набла, определяемый как.

где? единичные векторы вдоль координатных осей 0x, 0y, 0z. В результате действия оператора? на скалярное поле F, мы получаем градиент поля F:

Вектор градиента указывает направление наибольшего возрастания функции F, а его длина показывает скорость возрастания функции в данном направлении. Скалярное произведение вектора? и векторного поля известно как дивергенция вектора :

В результате векторного произведения векторов? и мы получаем ротор вектора :

Скалярное произведение ?·? = ?² соответствует скалярному дифференциальному оператору, называемомуоператором Лапласа или лапласианом. Он обозначается также символом Д:

Упомянем еще один дифференциальный оператор второго порядка? оператор Д’Аламбера. Этот оператор обозначается в виде квадрата и используется в теории относительности, электромагнетизме и других областях физики. В четырехмерном пространстве-времени (t, x, y, z) он представляется дифференциальным выражением.

где Д? оператор Лапласа.

Введение

дифференциальных операторов позволяет исследовать дифференциальные уравнения в терминахтеории операторов и функционального анализа. Такой обобщенный подход оказывается мощным и эффективным. В частности, в приложении к линейным дифференциальным уравнением n-го порядка мы получаем компактный способ записи уравнений, а в некоторых случаях? возможность их быстрого решения.