Лазерный импульс с резкими фронтами

Г. Хора и W. Scheid [14] теоретически рассмотрели движение заряженной частицы в плоско-поперечном импульсе прямоугольного профиля, т. е. импульсе с резкими передним и задним фронтами. Затем этот случай экспериментально исследовался в работе [15]. Воспроизведем результаты [14]. Для этого электрическое поле возьмем в том же виде, что и в [14], [5]:

, , (2.82).

где, при, и, при , — функция Хэвисайда, амплитуда поля положительна, длина импульса ненулевая .

Интегрируя (2.82) из определении (2.6), получаем векторный потенциал:

,.

. (2.83).

В точку, где первоначально покоится частица, пометим начало координат. Тогда по п. 2.1, минуя промежуточные вычисления, последовательно находим компоненты импульса.

,.

(2.84).

компоненты скорости.

,.

энергию частицы.

(2.86).

наконец, координаты частицы:

,.

. (2.87).

Выражения (2.84)-(2.87) можно легко получить и не прибегая к векторному потенциалу (2.83), как на то указывалось в п. 2.1.2. Формулы (2.85)-(2.86) совпадают с результатами работы [14]. Казалось бы, длину и частоту импульса можно варьировать так, что энергия (2.86) достигнет максимума при, т. е. если в импульсе укладывается полуцелое количество периодов волны. Однако, из определения (2.2) известно, что электрическое поле пропорционально производной от векторного потенциала, поэтому резкий скачок этой производной приводит к разрыву графика напряженности (см. рис. 2.5.а) — это физически невозможно.

а).

• б).
• в).

Рис. 2.5. Эскизы электрической напряженности (слева) и векторного потенциала (справа) x-компоненты импульса с резкими фронтами: а). в общем случае при дробном числе полупериодов волны в импульсе, б). при полуцелом числе периодов в импульсе, в). при целом числе периодов (по горизонтали подразумевается переменная).

В виду этого обстоятельства в топологическом плане случаи целого и полуцелого числа периодов волны в импульсе разобщены, т.к. физически запрещено непрерывно изменять длину импульса так чтобы один случай переходил бы в другой. Поскольку со снижением частоты величина быстро возрастает (а с ней и остаточная энергия электрона (2.86)), то наибольшего ускорения электронов следовало бы ожидать в области радиоволн, но, насколько мы можем судить, проявления данного эффекта в радиотехнике не зафиксировано. Наличие остаточной энергии электрона после импульса свидетельствовало бы о поглощении им фотонов импульса, однако известно, что свободный электрон не способен поглотить фотон в отсутствие третьего тела, т.к. при этом не выполнялись бы законы сохранения энергии и импульса [44]. К тому же забор энергии из электромагнитной волны свободной частицей в вакууме противоречил бы теореме Лоусона-Вудварда [26−27]. Таким образом, прямоугольный импульс (с резкими фронтами) может иметь только такую длительность, что в нем укладывается лишь целое число периодов волны несущей частоты. Как следствие, векторный потенциал в области вне импульса должен принимать равные значения, в частности .

В свете последнего уточнения, что физически возможно только выполнение условия, формулы (2.82)-(2.87) перепишутся в следующем виде: поля.

,.

.

векторный потенциал.

, ,.

компоненты импульса частицы.

, ,.

компоненты скорости частицы.

, ,.

энергия частицы.

.

координаты частицы.

,.

. (2.88).

Из последних формул видно, что частица сместилась от первоначального положения на величину, причем смещение вдоль направления распространения импульса оказалось даже меньше, чем в поперечном направлении.

Таким образом наш результат говорит о том, что частица после прохождения импульса не получает от него энергию, а поэтому покоится. Однако в итоге она сдвигается на расстояние под углом к направлению распространения импульса. Отметим, что есть работы [39−40], согласно которым при некоторых условиях частица после импульса может двигаться в направлении, обратном к направлению распространения импульса, о чем мы упоминали в п. 2.3.2.2.