Расчет нестационарных течений газовых смесей и течений капельных жидкостей в каналах тепломеханических систем

Дифференциальные уравнения турбулентного течения бинарной газовой смеси

Система уравнений, описывающая течение бинарной гомогенной смеси вязких теплопроводных сжимаемых газов, включает в себя уравнения неразрывности (4.1), движения (4.2), энергии (4.3), диффузии (4.4), а также уравнения двухпараметрической к—с модели турбулентности, включающие уравнения баланса кинетической энергии турбулентных пульсаций (4.5), и уравнение баланса скорости диссипации турбулентных пульсаций (4.6). Уравнения неразрывности, движения, энергии и диффузии для турбулентного течения получены осреднением по Фавру уравнений Навье — Стокса (см. [36], [165], [166], [234]). Уравнение баланса кинетической энергии выводится в [23], [166] и др. В уравнении (4.5) моделирование слагаемого, задающего диссипацию кинетической энергии турбулентности, проведено с использованием обычно используемого варианта гипотезы Колмогорова.

см. [23], [214], [234], [259], вместо используемого в [165], [166].

где к" ' = 0,5и’и'. Это позволяет записывать уравнение баланса кинетической энергии турбулентности для сжимаемого газа в форме, подобной таковой для несжимаемой жидкости и не содержащей в правой части вторых производных величины, обратной плотности. Такая форма уравнения является общепринятой для сжимаемого газа [23], [234], [259]. Уравнение (4.6) баланса скорости диссипации турбулентных пульсаций для сжимаемого газа записывается обычно также как и для несжимаемой жидкости. Отличие заключается в том, что при использовании гипотезы Буссинеска о линейной связи тензора турбулентных напряжений с тензором осредненных скоростей деформации, последний используется в виде, присущем течениям сжимаемых сред. В [23], [166] в записи этого соотношения имеются неточности. Правильное выражение приведено в [9]:

Здесь и далее используется суммирование по повторяющемуся индексу. В связи с тем, что уравнения (4.5), (4.6) в дальнейшем используются как исходные для осреднения по сечению канала с целью получения квазиодномерной модели, а также учитывая, что ввиду кратковременности процесса функционирования системы пограничный слой на стенках системы остается достаточно тонким, уравнения (4.5), (4.6) записаны для случая достаточно больших турбулентных чисел Re_T = v_T/v, что соответствует течению вдали от стенок канала. Уравнение баланса скорости диссипации турбулентных пульсаций.

может быть получено из уравнения баланса изотропной диссипации турбулентности.

в свою очередь получаемого из уравнений Навье — Стокса. При достаточно больших турбулентных числах Рейнольдса i:_s ~ что позволяет, в сочетании с моделированием отдельных членов правой части, получить двухпараметрическую модель турбулентности, отождествляя e_s и ?_т, т. е. вводя гипотезу локальной изотропности диссипирующих вихрей [23]. Система уравнений турбулентного течения бинарной смеси вязких теплопроводных сжимаемых газов может быть записана в виде (см. [9], [23], [165], [166], [225]).

no dVj.

Здесь Vv — тензор с компонентами-(см. [225], или Vv^T в обозна;

8s_K

чениях [171]); т— тензор суммарных напряжений с компонентами.

Jf — вектор потока диффузии компоненты 1 с составляющими.

Jl=-+ D,=D₁₂ = D_t;

jP'^T — 1 d ^m~^mi ^mi d P glnr|_.

¹¹ ' ^Pl[ ¹² m m d_Sj dSj j ^lj li'

J c, I-с, l" ¹

m = <�—i- ±—молекулярный вес смеси;

[^mi J.

q^s — вектор теплового потока с составляющими х 1 pj" sr и

q, =-^t-⁺XVp.

^asj м

D_k = |ц_л + jvK — вектор потока кинетической энергии турбулентных пульсаций;

Р_к =—12p_TS -—р_т? >-Vv, где S — деформация поля скорости, р (3 J.

тензор с компонентами.

S ₌1К₊^1.

* 2[5s_j ds_k}'

р_т = ц_т div v + p_k; E — единичный тензор;

P = C ——PC —•

^re Wl. • ^rk ^e.2. * >

p к к

D, = J p, + — lve_T — вектор потока скорости диссипации турбулентных пульсаций.

Турбулентная вязкость р_т связывается с кинетической энергией турбулентности /с и скоростью диссипации турбулентности е, с помощью гипотезы Колмогорова — Прандтля

и гипотезы Колмогорова.

где L — интегральный масштаб турбулентности [166], [234]. Исключая из (4.7) (4.8) L, получаем формулу Колмогорова — Прандтля.

В дальнейшем, учитывая, что C^C_D = 0,09, записываем это соотношение, заменяя, как общепринято [166], [234], C_MQ на С_й = 0,09. Постоянные модели турбулентности Qj, С_с2, Ок> ^сте^в обычно используемых модификациях к—е модели (см. [166], [234], [260]), имеют значения 1,44; 1,92; 1,0; 1,3 соответственно. Система уравнений (4.1)—(4.6) замыкается заданием термического и калорического уравнений состояния компонент. В качестве первого в рамках данной работы используется уравнение Дюпре—Абеля, представляющее собой упрощенное уравнение Ван-дер-Ваальса, в котором сохранена только поправка на собственный объем молекул [194], [227]. Последнее задается таблицей зависимости внутренней энергии компоненты от температуры.