Методы принятия решений в условиях риска

1. Дерево решений.

Деревья решений — это графическое средство анализа решений в условиях риска. Деревья решений создаются для использования в моделях, в которых принимается последовательность решений, каждая из которых ведет к некоторому результату (выходу модели). Например, концессионеры решают, сколько заявок послать на региональные торги. Но результат этого решения не определен, пока они не решат, в каких торгах участвовал. Только после этого можно решить, на какие суммы посылать заявки. Но и после этого результат, если его рассматривать как доход от торгов, не определен, поскольку не известен спрос на их товар.

Дерево решений один из прекрасных способов визуализации взаимосвязей между принимаемыми решениями и случайными событиями, от которых зависят результаты решений. Но, чтобы с помощью дерева решений найти оптимальное решение, необходимо на диаграмму дерева добавить числовые значения для каждого конечного узла. Эти значения называются конечными значениями. Необходимо также задать вероятности для каждой ветви, исходящей из узлов событий. На основе построенного дерева решений находится оптимальное решение. Надстройка выполняет необходимые для этого вычисления автоматически. Эти вычисления выполняются в обратном порядке, начиная не с корневого узла, а с конечных узлов событий, для которых вычисляются ожидаемые значения (такой процесс вычислений называется обратным пересчетом).

Это способ визуализации взаимосвязи между принимаемыми решениями и случайными событиями, от которых зависит результат решений. Оно дает возможность рассмотреть различные ситуации. Соотношение с ним финансовые результаты скорректировать их в соответствии с прописанными вероятностными. Затем сравнить результаты (альтернативы) и выбрать наилучшую альтернативу. Дерево решений располагается с лева на право. Анализ проблемы с использованием дерево решений состоит из 5 этапов:

Этап 1. Постановка проблемы и поиск альтернатив решения: выявление проблемы через сравнение достигнутого состояния и желаемого состояния; анализ причин, вызвавших проблему; выявление и определение значимых для постановки проблемы целей; определение перечня подпроблем, входящих в проблему, и логической последовательности их разрешения; подбор альтернативных решений для каждого из решений, в зависимости от условий внешней среды.

Этап 2. Конструирование дерева решений в виде схематичного представления комплекса решаемых подпроблем, Дерево содержит узлы двух типов. Первый тип изображается в виде прямоугольника и соответствует решению определенной подпроблемы — место, где решение принимает человек. Таким образом, в этих узлах системным аналитиком производится выбор одной из альтернатив. Каждая из альтернатив представляется в виде дуги, выходящей из узла принятия решения. Необходимо отметить, что реализация r-го решения может быть связана с определенными затратами Сr. Эта величина со знаком минус указывается над дугой, соответствующей r-му решению (рис.1).

Рис. 1 — Схематическое изображение узла принятия решения

Затраты на реализацию решений могут быть связаны с проведением дополнительных экспериментов для получения более точной информации, разработкой проектов технического переоснащения предприятий и т. д. В том случае, если реализация альтернативы не требует затрат, то над дугой не проставляется никаких количественных значений, а только указывается наименование альтернативы. Второй тип узлов изображается в виде круга и соответствует моменту появления возможных исходов в зависимости от состояний внешней среды — место, где все решает случай. Такие узлы именуются как узлы-возможности, а каждая дуга отображает возможный исход. Возникновение возможных исходов количественно задается распределением условных вероятностей (рис.2).

Конечным исходам приписывается численная величина выигрыша либо полезности (рис. 3).

Рис. 3.

Ветви обозначают линии, соединяющие узлы любых типов. Обобщенный фрагмент дерева решений представлен на рис. 4.

Рис. 4 — Обобщенный фрагмент дерева

Этап 3. Анализ дерева решений производится, начиная от конечных исходов к начальному узлу принятия решений. Такой процесс вычислений называется обратным пересчетом.

Для узлов-возможностей определяется среднее значения выигрыша. В частности, для узла D:

MD=U2 PD, 1+U3 PD, 2.

В том случае, если для узла — возможностей имеется только одно состояние и, следовательно, только один конечный исход, то среднее значение выигрыша для такого узла равно выигрышу конечного исхода. Так, для узла F:

MF=U6.

В узле принятия решения реализуется принцип максимизации среднего выигрыша либо ожидаемой полезности, т. е. в каждом узле решения системный аналитик выбирает альтернативу, которая приводит к наибольшей ожидаемой полезности, и значение этой полезности приписывается узлу решений. В частности, для узла 3 полезность или выигрыш определяются из условия:

М3(3)= max{ME, MF}.

На основе значений полезности узлов принятия решений находятся средние значения полезности для узлов-возможностей, которые являются узлами-предками. Процесс продолжается до тех пор, пока для начального узла принятия решений, исходя из принципа максимальной полезности, не будет определена оптимальная альтернатива. После этого проводится просмотр дерева в прямом порядке и определяется перечень оптимальных альтернатив.

Этап 4. Анализ устойчивости решения. Цель этого этапа состоит в определении предельных значениях вероятностей, при которых производится переход к другим альтернативным решениям.

Этап 5. Оценка ожидаемой ценности точной информации. Этот этап целесообразно выполнять в том случае, если с помощью дополнительного мониторинга внешней среды можно получить точную информацию о состоянии среды. Очевидно, что проведение мониторинга требует дополнительных затрат, но приводит к увеличению максимального выигрыша либо полезности. Поэтому необходимо найти разность между значениями критерия при наличии точной информации о состоянии среды и значением критерия при отсутствии такой информации. Эта разность называется ожидаемым значением дополнительной информации. Это верхняя граница цены, которую можно заплатить за какую-либо частную дополнительную информацию. Тогда мониторинг целесообразно проводить, если затраты на его организацию меньше вычисленной разности критериев оценки выигрышей.

Разница между ожидаемым доходом в условиях определенности и в условиях риска называется ожидаемой стоимостью полной информации. Это максимально возможный размер средств, которые можно потратить на получение полной информации.

Символы, используемые для дерева решений:

a) прямоугольник — это узел решения, из которого может быть выбрана одна или несколько альтернатив;

• б) овал — это узел состояния природы.
• 2. Классические критерии принятия решений:
  • А) Критерий Вальда или минимаксный (максиминый) критерий (ММ).

Данный критерий опирается на принцип наибольшей осторожности и основывается на выборе наилучшей и наихудшей стратегии. Данный выбор полностью исключает риск. Данный критерий требует знаний вероятностей.

Если в исходной матрице представляются потери затраты принимающего решения, то при выборе оптимальной стратегии используется минимаксный критерий.

Vw=min (max aij).

Если в исходной матрице результат представляет выигрыш, прибыль, доход или полезность лица принимающего решения, то в выборе оптимальной стратегии используется максимминый критерий.

Vw=max (min aij).

Б) Критерий Сэвиджа С помощью обозначения: aij=max eij — eij — это eir=maxaij = max (max eij-eij), формируется оценочная функция :

Zs=min eir = min [max (maxeij — eij)].

Соответствующее правило выбора теперь интерпретируется так:

Каждый элемент матрицы решений вычитается из наибольшего результата соответствующего столбца. Эти разности образуют матрицу остатков. Эта матрица пополняется столбцом наибольших разностей eir. Выбираются те решения Еio, в строках которых стоит наименьшее значение для этого столбца и строится множество оптимальных вариантов решения.

E0={Ei0|Ei0E^ei0=min eir}.

Для понимания этого критерия определяемую соотношением величину aij = max eij — eij можно трактовать как максимальный дополнительный выигрыш, который достигается, если в состоянии Fj вместо варианта Ei выбрать другой, оптимальный для этого внешнего состояния вариант. Мы можем, однако, интерпретировать aij и как потери (штрафы), возникающие в состоянии Fi при замене оптимального для него варианта на вариант Ei. Тогда определяемая соотношением величина eir представляет собой — при интерпретации аij в качестве потерь-максимальные возможные (по всем внешним состояниям Fj, j==1, …, n) потери в случае выбора варианта Ei. Эти максимально возможные потери минимизируются за счет выбора подходящего варианта Ei.

Соответствующее S-критерию правило выбора теперь интерпретируется так: каждый элемент матрицы решений ||eij|| вычитается из наибольшего результата max eij соответствующего столбца.

Разности aij образуют матрицу остатков ||aij|| Эта матрица пополняется столбцом наибольших разностей eir. Выбираются те варианты Eio, в строках которых стоит наименьшее для этого столбца значение.

По выражению оценивается значение результатов тех состояний, которые, вследствие выбора соответствующего распределения вероятностей, оказывают одинаковое влияние на решение, с точки зрения результатов матрицы ||eij|| S-критерий связан с риском, однако, с позиций матрицы ||aij|| он от риска свободен.

В) Критерий Байеса-Лапласа Этот критерий учитывает каждое из возможных следствий. Пусть qj — вероятность появления внешнего состояния Fj, тогда для этого критерия оценочная функция запишется так:

ZBL=max eir, eir= eij qj.

Тогда правило выбора будет записано так:

Матрица решений дополняется еще одним столбцом, содержащим математическое ожидание значений каждой из строк. Выбираются те варианты Eio, в строках которых стоит наибольшее значение eir этого столбца.

Г) Расширенный минимаксный критерий В нем используются простейшие понятия теории вероятностей, а также, в известном смысле, теории игр. В технических приложениях этот критерий до сегоднешнего времени применяется мало.

Основным здесь является предположение о том, что каждому из n возможных внешних состояний Fj приписана вероятность его появления: 0< q<1.

Тогда расширенный ММ-критерий формулируется следующим образом:

E (p0)={E (p0)|E (p0).

[Введите текст].

E^e (p0,q0)=max min eijpiqj}.

где р-вероятностный вектор для Ei, a q-вероятностный вектор для Fj.

Таким образом, расширенный ММ-критерий задается целью найти наивыгоднейшее распределение Ei вероятностей на множестве вариантов, когда в многократно воспроизводящейся ситуации ничего не известно о вероятностях состояний Fj. Поэтому предполагается, что Fj распределены наименее выгодным образом.

Д) Критерий произведений С самого начала этот критерий ориентирован на величины выигрышей, то есть на положительные значения величины е Определим оценочную функцию:

Zp=max eir.

Привило выбора в этом случае формулируется так:

Матрица решений дополняется новым столбцом, содержащим произведения всех результатов каждой строки. Выбираются те варианты Еiо, в строках которых находятся наибольшие значения этого столбца.

Применение этого критерия обусловлено следующими обстоятельствами:

Вероятности появления состояний Fj неизвестны; с появлением каждого из состояний Fj по отдельности необходимо считаться; критерий применим при малом числе реализаций решения; некоторый риск допускается.

Как уже упоминалось, этот критерий приспособлен в первую очередь для случаев, когда все eij положительны. Если указанное условие нарушается, а этот критерий приходится применять и в этом случае, то следует выполнить некоторый сдвиг eij +a с некоторой константой, а > | min eij |. Разумеется, результат применения критерия существенно зависит от этого значения а. На практике в качестве значения, а охотно используют величину | min eij | + 1. Если же никакая константа не может быть признана имеющей смысл, то к таким проблемам этот критерий не применим.

Выбор оптимального решения согласно критерию произведений оказывается значительно минее пессимистическим, чем, например, выбор в соответствии с минимаксным критерием. В результате применения критерия произведений происходит некоторое выравнивание между большими и малыми значениями eij, и, устанавливая оптимальный вариант решения с помощью этого критерия, мы можем при фиксированных состояниях Fj получить большую выгоду, чем при использовании минимаксного критерия, но при этом должна учитываться возможность появления и худших результатов. Следует отметить, что при использовании этого критерия ни число реализаций, ни информация о распределении вероятностей не принимаются во внимание.

Е) Критерий Гермейера Отправляясь от подхода Гермейера к отысканию эффективных и пригодных к компромиссу решений в области полиоптимизации — т. е. всех решений, которые не считаются заведомо худшими, чем другие, — можно предположить еще один критерий, обладающий в некотором отношении определенной эластичностью. Он с самого начала ориентирован на величины потерь, т. е. на отрицательные значения eij.

В качестве оценочной функции выступает.

ZG=max eij.

Поскольку в хозяйственных задачах преимущественно имеют дело с ценами и затратами, условие eij 0.

Правило выбора согласно критерию Гермейера формулируется следующим образом:

Матрица решений дополняется еще одним столбцом, содержащим в каждой строке наименьшее произведение имеющегося в ней результата на вероятность соответствующего состояния Fj. Выбираются те решения Еiо, в строках которых находится наибольшее значение eir этого столбца.

Ж) Критерий Гурвица Стараясь занять наиболее уравновешенную позицию, Гурвиц предложил критерий, оценочная функция которого находится где-то между точками зрения предельного оптимизма и крайнего пессимизма:

ZHW=max eir.

Правило выбора согласно HW-критерию формулируется так:

Матрица решений дополняется столбцом, содержащим средние взвешенные наибольшего и наименьшего результатов для каждой строки. Выбираются те варианты Eio, в строках которых стоят наибольшие элементы eij этого столбца. В технических приложениях правильно выбрать множитель с бывает так же трудно, как правильно выбрать критерий. Вряд ли возможно найти количественную характеристику для тех долей оптимизма и пессимизма, которые присутствуют при принятии решения. Поэтому чаще всего весовой множитель с=0,5 без возражений принимается в качестве некоторой «средней» точки зрения. При обосновании выбора применяют обратный порядок действий. Для приглянувшегося решения вычисляется весовой множитель с, и он интерпретируется как показатель соотношения оптимизма и пессимизма. Таким образом, позиция исходя из которых принимаются решения, можно рассортировать, по крайней мере, задним числом.

Этот критерий предъявляет к ситуации, в которой принимается решение, следующие требования:

О вероятностях появления состояния Fj ничего не известно; с появлением состояния Fj необходимо считаться; реализуется лишь малое количество решений; допускается некоторый риск З) Составной критерий Байеса-Лапласа минимаксный Стремление получить критерии, которые бы лучше приспосабливались к имеющейся ситуации, чем все до сих пор рассмотренные, привело к построению так называемых составных критериев.

Исходным для построенного был BL-критерий Вследствие того, что распределение q=(q1, …, qn) устанавливается эмпирически и потому известно неточно, происходит, с одной стороны, ослабление критерия, а с другой, напротив, с помощью заданных границ для риска и посредством MM-Kритерня обеспечивается соответствующая свобода действий. Точные формулировки состоят в следующем.

Зафиксируем прежде всего задаваемое ММ-критерием опорное значение:

Zmm=max min eij=eij.

где i0 и j0-оптимизирующие индексы для рассматриваемых вариантов решений и, соответственно, состояний.

Посредством некоторого заданного или выбираемого уровня допустимого риска Eдоп>0 определим некоторое множество согласия, являющееся подмножеством множества индексов {1, … …, т}:

I1:={i|i{1, …, m}ei0j0-min eij? eдоп}.

Величина Ei:=ei0j0 — minjeij для всех i I1 характеризует наибольшие возможные потери в сравнении со значением ei0j0, задаваемым ММ-критерием. С другой стороны, в результате такого снижения открываются и возможности для увеличения выигрыша по сравнению с тем, который обеспечивается ММ-критерием. Поэтому мы рассматриваем также (опять-таки как подмножество множества {1, …, m}) некоторое выигрышное множество.

I2:{l|l (1, …, m)^max eij — max eio j0? ei0j0- min eij=ei}.

Тогда в множество-пересечение I1 I2 мы соберем только такие варианты решений, для которых, с одной стороны, в определенных состояниях могут иметь место потери по сравнению с состоянием, задаваемым ММ-критерием, но зато в других состояниях имеется по меньшей мере такой же прирост выигрыша. Теперь оптимальными в смысле BL (ММ)-критерия будут решения.

Eф:={Ei0|Ei0^ei0= maxe1jq1}.

Правило выбора для этого критерия формулируется следующим образом.

Матрица решений ||еij|| дополняется еще тремя столбцами. В первом из них записываются математические ожидания каждой из строк, во втором-разности между опорным значением ei0j0 = ZMM и наименьшим значением minj (еij) соответствующей строки. В третьем столбце помещаются разности между наибольшим значением maxj еij каждой строки и наибольшим значением max ei0j той строки, в которой находится значение ei0j0. Выбираются те варианты Ei0 строки которых (при соблюдении приводимых ниже соотношений между элементами второго и третьего столбцов) дают наибольшее математическое ожидание. А именно, соответствующее значение ei0j0 — minj еij из второго столбца должно быть меньше или равно некоторому заранее заданному уровню риска едоп. Значение же из третьего столбца должно быть больше значения из второго столбца.

Применение этого критерия обусловлено следующими признаками ситуации, в которой принимается решение:

вероятности появления состояний FJ неизвестны, однако имеется некоторая априорная информация в пользу какого-либо определенного распределения;

необходимо считаться с появлениями различных состояний как по отдельности, так и в комплексе;

допускается ограниченный риск;

принятое решение реализуется один раз или многократно.

Таким образом, спектр применимости теории распространяется далеко за пределы предыдущих критериев. Особо следует подчеркнуть, что действие новых критериев остается вполне обозримым, хотя функция распределения может играть лишь подчиненную роль.

BL (ММ)-критерий хорошо приспособлен для построения практических решений прежде всего в области техники и может считаться достаточно надежным. Однако задание границы риска едоп и, соответственно, оценок риска еi не учитывает ни число применений решения, ни иную подобную информацию. Влияние субъективного фактора хотя и ослаблено, но не исключено полностью;

Условие maxj еij — maxjеi0 j >= еi существенно в тех случаях, когда решение реализуется только один или малое число раз. В этих случаях недостаточно ориентироваться на риск, связанный лишь с невыгодными внешними состояниями и средними значениями. Из-за этого, правда, можно понести некоторые потери в удачных внешних состояниях. При большом числе реализации это условие перестает быть таким уж важным. Оно даже допускает разумные альтернативы.