Теорема умножения. 
Условные вероятности

На практике часто встречаются ситуации, когда наступление некоторого события значительно меняет возможности наступления других событий и их вероятности. Событие, состоящее в наступлении события В при условии, что произошло событие А, будем обозначать В/A. Вероятность этого события Р (В/А) называется условной вероятностью события В. В некоторых книгах эта вероятность обозначается Р_Д(В).

Очевидно, что для независимых событий.

Иногда считается, что выполнение указанных равенств является определением независимости событий.

Если.

то события А и В однозначно являются зависимыми.

Пример 5.41

В ящике в произвольном порядке лежит 50 деталей: 20 деталей окрашенных и 30 — неокрашенных. Из 20 окрашенных деталей только 18 деталей годны. Из 30 неокрашенных деталей годны только 22 штуки. Сборщик наугад достает одну деталь.

Найти вероятность того, что:

• 1) извлеченная деталь годная, если неизвестно, окрашенная она или нет;
• 2) извлеченная деталь годная, если известно, что она окрашенная.

Решение. Обозначим события:

А — извлеченная деталь окрашенная;

В — извлеченная деталь годная.

При условии, что неизвестно, извлечена деталь окрашенная или нет, вероятность события равна Р (В) и определяется как.

При условии, что извлечена деталь окрашенная, вероятность того, что она годная, находим из формулы условной вероятности события В

События, А и В — зависимые, так как Р (В/А) ф Pie). ?

Получим теперь формулу для вероятности произведения двух зависимых событий А и В. Пусть достоверное событие U распадается на п элементарных исходов, из которых событие А происходит в т случаях, а событие АВ — в г случаях. Тогда по определению условная вероятность события В равна.

так как если событие А произошло, то общее число частных случаев равно т, а число частных случаев, в которых вместе с, А произошло В, равно г.

Разделим числитель и знаменатель на п (при такой операции, конечно, дробь не изменится).

Отсюда.

и, следовательно,.

Полученную формулу часто называют теоремой умножения вероятностей для двух зависимых событий. Аналогично можно показать, что.

Если, А и В события независимые, то и поэтому.

Можно доказать, что для трех зависимых событий А, В, С теорема умножения вероятностей имеет вид.

Для п независимых событий.

То есть вероятность произведения независимых событий равна произведению их вероятностей.

Следствие. Вероятность появления хотя бы одного из независимых событий А_ь А₂, …, А_п определяется формулой.

где А_а, А₂,…, А" — противоположные события.

Пример 5.42

В условии предыдущей задачи найти вероятность того, что извлеченная деталь и окрашенная, и годная, т. е. вероятность события Р (АВ) — ?

Решение.

Так как окрашенных деталей 20, а всего деталей 20 + 30, то тогда

Два снайпера стреляют в террориста. Вероятность попадания в террориста при выстреле для первого снайпера равна 0,85, а для второго — 0,9. Какова вероятность того, что оба снайпера попадут в мишень при залпе?

Решение.

Пример 5.44.

В ящике перемешаны пять годных и четыре бракованные детали. Из него извлекают наугад две детали. Найти вероятность того, что все они годные. Решение.

Обозначим события:

А — первая извлеченная деталь годная;

В — вторая извлеченная деталь годная.

Вероятность события Р (АВ) —?

Ясно, что Р (А) = —, так как всего деталей в ящике девять, а годных из них пять. После того, как событие А произошло, т. е. извлечена годная деталь, в ящике осталось восемь деталей, из которых четыре годные. Следовательно, вероятность.

Отсюда.

Следует отметить, что эта задача может быть решена и без использования теоремы умножения вероятностей, а с применением элементов комбинаторики. В этом случае обозначаем: А — обе извлеченные детали годные. Вероятность события Р (А) — ?

По аналогии с примером 1.26 с нечетными числами ясно, что.

Пример 5.45.

В ящике перемешаны пять годных и четыре бракованные детали. Из него извлекают наугад три детали. Найти вероятность того, что все они годные.

Решение.

1-й способ (по теореме умножения вероятностей). Обозначим события:

А — первая извлеченная деталь годная;

В — вторая извлеченная деталь годная;

С — третья извлеченная деталь годная. Вероятность события Р (АВС) — ?

Ясно, что после извлечения первой детали Р{В/А) = —. После того как про;

изошли события, А и В, в ящике осталось семь деталей, из которых три годные.

Тогда Р{С/АВ) = —. Отсюда 7.

2-й способ (с применением элементов комбинаторики).

А — все три извлеченные детали годные. Вероятность события Р (А) —?

Пример 5.46.

В сейфе лежит 20 уголовных дел, помеченных номерами 001,002, 003,…, 020 и расположенных произвольно. Из сейфа вынимают два уголовных дела. Определить вероятность того, что вынуты из сейфа два дела с номерами 002 и 019.

Решение.

Пусть, А — событие «вынуты два дела с номерами 002 и 019». Так как в сейфе 20 дел, то общее число комбинаций выемки по два дела равно.

а число комбинаций, благоприятных событию А, — одно, то вероятность наступления события А:

Пример 5.47.

Три курсанта стреляют в одну и ту же цель независимо друг от друга. Вероятность попадания для первого курсанта при отдельном выстреле равна 0,6, второго — 0,7 и третьего — 0,75. Найти вероятность попадания в цель хотя бы одного курсанта, если каждый сделает по одному выстрелу.

Решение. Обозначим события:

А — попал первый курсант;

В — попал второй курсант;

С — попал третий курсант.

Вероятность события Р (А + В + С) — ?

В этой задаче нужно найти вероятность суммы трех совместных событий, так как по условию задачи требуется найти вероятность хотя бы одного из этих событий. Такая формула в теореме сложения вероятностей не приводилась.

Заметим, что с увеличением числа событий число слагаемых в формуле вероятности суммы совместных событий сильно возрастает и формула становится достаточно сложной.

Поэтому при числе событий более двух для нахождения вероятности суммы совместных событий обычно используют теорему умножения вероятностей и понятие противоположного события.

Противоположным событием для А + В + С (попадание хотя бы одного курсанта) является событие, состоящее в одновременном промахе всех трех курсантов, т. е.

Используя свойство вероятности противоположного события и независимость как попаданий, так и промахов стрелков, имеем

Пример 5.48.

В одной урне восемь красных шаров и два белых, а в другой — четыре красных и шесть белых. Из каждой урны наугад достают по одному шару.

Найти вероятность того, что:

• а) оба извлеченных шара красные;
• б) хотя бы один из извлеченных шаров красный.

Решение. Обозначим события:

А — шар из первой урны красный;

В — шар из второй урны красный.

Ясно, что.

а) вероятность того, что оба шара красные Р (АВ) —?

Так как, А и В — события независимые, то.

б) вероятность того, что хотя бы один из извлеченных шаров красный Р (А + В) — ?

Ясно, что, А и В — события совместные, поэтому

Тот же результат можно получить, используя свойство вероятности противоположного события.