Подходящие дроби. Их свойства

Задаче разложения обыкновенной дроби в непрерывную дробь противостоит обратная задача — обращения или свертывания цепной дроби в простую дробь .

При этом основную роль играют дроби вида:

или.

которые называются подходящими дробями данной непрерывной дроби или соответствующего ей числа .

Заметим, что ==. Считается, что подходящая дробь имеет порядок k.

Прежде чем приступить к вычислению подходящих дробей заметим, что переходит в, если в первой заменить выражением .

Имеем ,.

.

…,.

при этом принимается, что, ,, , ,.

и так далее.

Закономерность, которую мы замечаем в построении формулы для (ее числителя и знаменателя), сохраняется при переходе к и сохранится также при переходе от k к (k+1).

Поэтому, на основании принципа математической индукции, для любого k, где, имеем.

(1),.

причем (2).

(3).

Далее, говоря о подходящих дробях (в свернутом виде), мы будем иметь в виду их форму .

Соотношения (1) являются рекуррентными формулами для вычисления подходящих дробей, а также их числителей и знаменателей. Из формул для числителя и знаменателя сразу видно, что при увеличении k они возрастают. Последовательное вычисление числителей и знаменателей подходящих дробей по формулам (2) и (3) удобно располагать по схеме:

…	…
…	…
…	…

Пример: Найти подходящие дроби к цепной дроби (2, 2, 1, 3, 1, 1, 4, 3).

Подходящие дроби () равны соответственно; ;; ;; ;; .

Практически нахождение неполных частных и подходящих дробей удобно объединить в одну краткую схему, которую для =(2, 3, 1, 4, 2).

.

А сейчас рассмотрим ряд свойств подходящих дробей.

Теорема: При k=1, 2, …, n выполняется равенство.

Доказательство: Проведем индукцию по k:

При k=1 равенство справедливо, так как.

.

Пусть это равенство верно при некотором k=n ().

Докажем справедливость равенства при k=n+1.

то есть равенство верно при k=n+1.

Согласно принципу полной математической индукции равенство верно для всех k ().

Теорема: Числитель и знаменатель любой подходящей дроби — взаимно простые числа, то есть всякая k-подходящая дробь несократима.

Доказательство: Докажем это свойство методом от противного. По предыдущему свойству имеем.

.

Пусть, то есть, тогда из равенства.

следует, что делится на без остатка, что невозможно. Значит, наше допущение неверно, а верно то, что требовалось доказать, то есть .

Теорема: При.

().

().

Доказательство: Первое соотношение можно получить из равенства.

доказанного выше, путем деления обеих частей на .

Получаем.

что и требовалось доказать.

Докажем второе соотношение.

.

Теорема доказана полностью.

Теорема: Знаменатели подходящих дробей к цепной дроби, начиная с первого, образуют монотонно возрастающую последовательность, то есть 1=.

Доказательство:, , так что и положительны.

Соотношение.

() (*).

показывает, что и все следующие знаменатели, , …, положительны. При, поскольку тогда, из (*) получаем.

что и требовалось доказать.

Теорема: Нечетные подходящие дроби образуют возрастающую, а четные подходящие дроби — убывающую последовательность:

;

Две подходящие дроби и, у которых номер отличается на единицу, будем называть соседними.

Теорема: Из двух соседних подходящих дробей четная дробь всегда больше нечетной.

Доказательство: По уже доказанному выше свойству имеем:

.

Если k — четное, то.

Если k — нечетное, то.

Значит, из двух соседних дробей и четная всегда больше нечетной, что и требовалось доказать.

Теорема: Расстояние между двумя соседними подходящими дробями.

.

Доказательство: Так как.

то ,.

что и требовалось доказать.