Решение матричных уравнений методом Гаусса

Рассмотрим матричное уравнение.

(2.8).

в предложении, что. В силу предложения 1.7 единственное решение этого уравнения имеет вид В то же время матричное уравнение (2.8) ввиду правила умножения матриц эквивалентно системе матричных уравнений.

(2.9).

каждое из которых, являясь уравнением типа (2.6), равносильно определённой СЛАУ с расширенной матрицей.

.(2.10).

Единственное решение этой системы уравнений имеет вид.

.

и, как следует из 2.4, получается в результате приведения основной матрицы системы к виду ,.

.

Однако, ничто не мешает нам решать системы уравнений с матрицами вида (2.10) одновременно для всех значений. Вводя расширенную матрицу и приводя строчными элементарными преобразованиями основную матрицу к виду, мы получим, что.

.

На практике обычно возникает более общая задача решения матричного уравнения (2.8) для произвольных матриц, ,. Изложенное выше позволяет сформулировать следующий алгоритм решения этой задачи.

Составляем матрицу и строчными элементарными преобразованиями приводим её к виду, где — приведённая матрица, л_эквивалентная матрице .

• 1) Если (в этом случае, конечно, — квадратная матрица), уравнение (2.8) разрешимо для любой, а — его единственное решение.
• 2) Если, тогда для разрешимости уравнений (2.8) необходимо и достаточно, чтобы у матрицы не было нулевых строк, либо при наличии нулевой строки, например, выполнялось условие (для каждой такой строки).
• 3) Если и уравнение (2.8) разрешимо, то для того, чтобы его решение было единственным, необходимо и достаточно, чтобы у приведённой СЛАУ с матрицей не было свободных неизвестных. Если последнее условие нарушено, то уравнение (2.8) имеет бесчисленное множество решений, а его общее решение определяется способом, описанным в пункте 2.4.

Пример 5. Решить матричное уравнение (2.8), если.

.

< Применяя метод Гаусса к расширенной матрице, получаем, что.

.

Откуда следует, что матрица и, то есть уравнение (2.8) разрешимо. Так как у приведённой СЛАУ нет свободных переменных, то его решение единственно и имеет вид.

. >

Предлагаем читателю самостоятельно убедиться, что уравнение (2.8) с той же самой матрицей, но с другой правой частью.

неразрешимо.

Пример 6. Решить матричное уравнение (2.8), если.

.

< Применяя метод Гаусса к расширенной матрице, получаем, что.

.(2.11).

Откуда следует, что матрица и не имеет нулевых строк, но у приведённой СЛАУ есть одна свободная неизвестная. Таким образом, уравнение (2.8) разрешимо и имеет бесчисленное множество решений. Общее решение находим из системы (2.11), определяя и соответственно из систем и. Именно полагая из системы.

или.

получаем, что.

.

Полагая из системы.

или.

получаем, что.

то есть .

Наконец, заметим, что матричное уравнение вида применением к нему операции транспонирования сводится к уравнению вида (2.8).

.

Оба эти уравнения разрешимы или неразрешимы одновременно, а их решения взаимнотранспонированны. >