Гидростатическое давление и его свойства

Гидростатическое давление и его свойства Как известно, в покоящейся жидкости возможен лишь один вид напряжений — напряжения сжатия, т. е. гидростатическое давление.

Гидростатическое давление в жидкости имеет следующие два свойства:

• 1. На внешней поверхности гидростатическое давление всегда направлено по нормали, внутрь рассматриваемого объема жидкости. Это свойство непосредственно вытекает из определения давления как напряжения от нормальной сжимающей силы. Под внешней поверхностью жидкости понимают не только поверхности раздела жидкости с газообразной средой или твердыми стенками, но и поверхности элементарных объемов, мысленно выделяемых из общего объема жидкости.
• 2. В любой точке внутри жидкости гидростатическое давление по всем направлениям одинаково, т. е. давление не зависит от угла наклона площадки, на которую оно действует в данной точке. Для доказательства этого свойства выделим в неподвижной жидкости элементарный объем в форме прямоугольного тетраэдра с ребрами, параллельными координатным осям и соответственно равными dx, dy и dz (рис. 1).

Рис. 1.

Пусть на выделенный объем жидкости действует единичная массовая сила, составляющие которой равны X, Y и Z. Обозначим через px гидростатическое давление, действующее на грань, нормальную к оси 0x, через py давление, действующее на грань, нормальную к оси 0y, и т. д.

Гидростатическое давление, действующее на наклонную грань, обозначим через pn, а площадь этой грани — через dS. Все эти давления направлены по нормалям к соответствующим площадкам.

Составим уравнения равновесия выделенного объема жидкости сначала в направлении оси 0x. гидростатический пьезометр давление Проекция сил давления на ось 0x равна.

Масса тетраэдра равна произведению его объема на плотность, т. е., следовательно, массовая сила, действующая на тетраэдр вдоль оси 0x, равна.

Уравнения равновесия тетраэдра запишем в следующем виде:

Разделим это уравнение почленно на площадь, которая равна площади проекции наклонной грани dS на плоскость y0z, и, следовательно,.

Будем иметь.

При стремлении размеров тетраэдра к нулю последний член уравнения, содержащий множитель dx, будет также стремиться к нулю, а давления px и pn будут оставаться конечными величинами. Следовательно, в пределе получим, что px — pn =0 или px = pn. Аналогично составляя уравнения равновесия вдоль осей 0y и 0z, после таких же рассуждений получим, что py = pn, pz = pn, т. е.

px = py = pz = pn (1).

Так как размеры тетраэдра dx, dy и dz были взяты произвольно, то и наклон площадки dS произволен, и, следовательно, в пределе при стягивании тетраэдра в точку давление в этой точке по всем направлениям будет одинаково.

Рассмотренное свойство давления в неподвижной жидкости имеет место также при движении идеальной жидкости. При движении же реальной жидкости возникают касательные напряжения, вследствие чего давление в реальной жидкости указанным свойством, строго говоря, не обладает.

Основное уравнение гидростатики Рассмотрим тот основной случай равновесия жидкости, когда на нее действует лишь одна массовая сила — сила тяжести. Свободная поверхность жидкости в этом случае, как известно, является горизонтальной плоскостью. Пусть жидкость содержится в сосуде (рис. 2) и на ее свободную поверхность действует давление p0. Найдем величину гидростатического давления p в произвольно взятой точке M, расположенной на глубине h.

Рис. 2.

Выделим около точки М элементарную горизонтальную площадку dS и построим на ней вертикальный цилиндрический объем высотой h. Рассмотрим условие равновесия указанного объема жидкости, выделенного из общей массы жидкости. Давление жидкости на нижнее основание цилиндра теперь будет внешним и направлено по нормали внутрь объема, т. е. вверх. Запишем сумму всех сил, действующих на рассматриваемый объем в вертикальном направлении:

где последний член представляет собой вес жидкости в указанном объеме. Силы давления по боковой поверхности цилиндра в уравнение не войдут, так как они нормальны к этой поверхности.

Сократив на dS и перегруппировав члены, получим.

(2).

Полученное уравнение называют основным уравнением гидростатики; оно позволяет определить давление в любой точке покоящейся жидкости. Это давление, как видно из уравнения, складывается из двух величин: давления p0 на внешней поверхности жидкости и давления, обусловленного весом вышележащих слоев жидкости. Величина p0 является одинаковой для всех точек объема жидкости, поэтому, учитывая второе свойство гидростатического давления, можно сказать, что давление, приложенное к внешней поверхности жидкости, передается всем точкам этой жидкости и по всем направлениям одинаково (закон Паскаля).

Поверхность, во всех точках которой давление одинаково, называется поверхностью уровня. В данном случае поверхностями уровня являются горизонтальные плоскости, а свободная поверхность является одной из поверхностей уровня. Возьмем на произвольной высоте горизонтальную плоскость сравнения, от которой вертикально вверх будем отсчитывать координаты z. Обозначим через z координату точки M, через z0 — координату свободной поверхности жидкости и заменив в уравнении (1) h на z0 — z, получим.

(2).

Но так как точка M взята произвольно, то можно утверждать, что для всего рассматриваемого неподвижного объема жидкости.

Координата z называется нивелирной высотой. Величина имеет также линейную размерность и называется пьезометрической высотой. Сумма называется гидростатическим напором. Таким образом, гидростатический напор есть величина постоянная для всего объема неподвижной жидкости.

Пьезометрическая высота. Вакуум. Измерение давления.

Пьезометрическая высота, равная, представляет собой высоту столба жидкости, соответствующую данному давлению p (абсолютному или избыточному).

Рис. 3.

Пьезометрическую высоту, соответствующую избыточному давлению, можно наблюдать в так называемом пьезометре — простейшем устройстве для измерения давления. Пьезометр представляет собой вертикальную стеклянную трубку, верхний конец которой открыт в атмосферу, а нижний присоединен к тому объему жидкости, где измеряется давление (рис. 3).

Применяя формулу (1) к жидкости, заключенной в пьезометре, получим.

где pабс — абсолютное давление в жидкости на уровне присоединения пьезометра;

pa — атмосферное давление.

Отсюда высота подъема жидкости в пьезометре равна.

(3).

где pизб — избыточное давление на том же уровне.

Очевидно, что если на свободную поверхность покоящейся жидкости действует атмосферное давление, то пьезометрическая высота для любой точки рассматриваемого объема жидкости равна глубине расположения этой точки.

Часто давление в жидкостях или газах численно выражают в виде соответствующей этому давлению пьезометрической высоты по формуле (2.3). Например одной технической атмосфере соответствуют 10 м вод. ст. или 735 мм рт. ст. Если абсолютное давление в жидкости или газе меньше атмосферного, то говорят, что имеет место разрежение, или вакуум. За величину разрежения, или вакуума принимается недостаток до атмосферного давления.

или.

Рис. 4.

Возьмем, например, трубу с плотно пригнанным к ней поршнем, опустим нижний ее конец в сосуд с жидкостью, и будем постепенно поднимать поршень (рис. 4).

Жидкость будет следовать за поршнем и вместе с ним поднимется на некоторую высоту h от свободной поверхности с атмосферным давлением. Так как для точек, расположенных под поршнем, глубина их погружения относительно свободной поверхности отрицательна, то согласно уравнению (1), абсолютное давление жидкости под поршнем.

(4).

а величина вакуума.

По мере подъема поршня абсолютное давление жидкости под поршнем уменьшается. Нижним пределом абсолютного давления в жидкости является нуль, а максимальное значение вакуума численно равно атмосферному давлению, поэтому максимальная высота всасывания жидкости определится из уравнения (4), если в нем положить p = 0 (точнее, p = pn). Таким образом, без учета упругости паров.

(5).

При нормальном атмосферном давлении (1,033 кГ/см2) высота hmax равна: для воды 10,33 м, для ртути 760 мм.

Рис. 5.

Простейшим устройством для измерения вакуума может служить стеклянная трубка, показанная на рис. 5 в двух вариантах.

Вакуум в жидкости может измеряться либо с помощью U — образной трубки, либо путем использования перевернутой U — образной трубки, один конец которой опущен в сосуд с жидкостью.

Для измерения давления жидкостей и газов помимо пьезометров пользуются манометрами, которые делятся на жидкостные, механические и электрические. Подробные сведения о данных приборах можно найти в специальной литературе.

Сила давления жидкости на плоскую стенку Используем основное уравнение гидростатики (1) для нахождения полной силы давления жидкости на плоскую стенку, наклоненную к горизонту под произвольным углом a (рис. 6).

Рис. 6.

Вычислим полную силу P давления, действующую со стороны жидкости на некоторый участок рассматриваемой стенки, ограниченный произвольным контуром и имеющий площадь, равную S.

Ось 0x направим по линии пересечения плоскости стенки со свободной поверхностью жидкости, а ось 0y — перпендикулярно этой линии в плоскости стенки.

Выразим сначала элементарную силу давления, приложенную к бесконечно малой площадке dS:

.

где p0 — давление на свободной поверхности;

h — глубина расположения площадки dS.

Для определения полной силы P выполним интегрирование по всей площади S.

.

где y — координата центра площадки dS.

Последний интеграл, как известно из механики, представляет собой статический момент площади S относительно оси 0x и равен произведению этой площади на координату ее центра тяжести (точка С), т. е.

Следовательно,.

(здесь hc — глубина расположения центра тяжести площади S), или.

(6).

т. е. полная сила давления жидкости на плоскую стенку равна произведению площади стенки на величину гидростатического давления в центре тяжести этой площади.

Найдем положение центра давления. Так как внешнее давление p0 передается всем точкам площади S одинаково, то равнодействующая этого давления будет приложена в центре тяжести площади S. Для нахождения точки приложения силы избыточного давления жидкости (точка D) применим уравнение механики, согласно которому момент равнодействующей силы давления относительно оси 0x равен сумме моментов составляющих сил, т. е.

где yD — координата точки приложения силы Pизб.

Выражая Pизб и dPизб через yc и y и определяя yD, получим.

где — момент инерции площади S относительно оси 0x.

Учитывая, что.

(Jx0 — момент инерции площади S относительно центральной оси, параллельной 0x), получим.

(7).

Таким образом, точка приложения силы Pизб расположена ниже центра тяжести площади стенки; расстояние между ними равно.

Если давление p0 равно атмосферному, и оно действует с обеих сторон стенки, то точка D и будет центром давления. Когда же p0 выше атмосферного, то центр давления находится по правилам механики как точка приложения равнодействующей двух сил: hcgS и p0S. При этом, чем больше вторая сила по сравнению с первой, тем ближе центр давления к центру тяжести площади S.

В частном случае, когда стенка имеет прямоугольную форму, причем одна из сторон прямоугольника совпадает со свободной поверхностью жидкости, положение центра давления находится из геометрических соображений. Так как эпюра давления жидкости на стенку изображается прямоугольным треугольником (рис. 7), центр тяжести которого отстоит от основания на 1/3 высоты b треугольника, то и центр давления жидкости будет расположен на том же расстоянии от основания.

В машиностроении часто приходится сталкиваться с действием силы давления на плоские стенки, например на стенки поршней или цилиндров гидравлических машин. Обычно p0 при этом бывает настолько высоким, что центр давления можно считать совпадающим с центром тяжести площади стенки.