Несобственные интегралы. 
Математический анализ: определенный интеграл

Выше в гл. 1 было рассмотрено понятие определенного интеграла Римана, или собственного интеграла. При этом предполагалось, что промежуток интегрирования конечен, а подынтегральная функция является ограниченной. Данная глава посвящена обобщению этого понятия на те случаи, когда-либо промежуток интегрирования бесконечен, либо подынтегральная функция является неограниченной.

Понятия несобственных интегралов 1-го и 2-го рода и связь между ними. Сходимость (расходимость) интеграла.

Несобственный интеграл 1-го рода

Начнем с рассмотрения интеграла по бесконечному промежутку. Пусть функция / определена на промежутке [а, + °°) и интегрируема в собственном смысле в любой конечной его части [a, A] (VA > а).

А

Предел интеграла J f (x)dx (конечный или бесконечный) при А —"+°°.

а

называют несобственным интегралом 1-го рода от функции/по промежутку [а, + °о) и обозначают символом.

В случае, когда этот предел конечен, говорят, что интеграл (4.1) сходится, а функцию/называют интегрируемой на бесконечном промежутке [а, + °о) (в несобственном смысле). Если же предел (4.1) бесконечен или не существует, то про интеграл говорят, что он расходится (соответственно, функция/— неинтегрируема). В частности, если этот предел равен +"=, то говорят, что интеграл расходится к +<=°. Бесконечно удаленная точка х — +°° (правый конец промежутка интегрирования) называется в этом случае особой точкой (особенностью 1-го рода).

По определению будем считать, что если функция / интегрируема на промежутке [а, + °°), то.

юз Аналогично определяется и интеграл от функции/по бесконечному промежутку (-о", а] (если функция / интегрируема на отрезке [А', а] для любого А' < а):

Интеграл от функции / по бесконечному промежутку (-°°, + °о) определяется как.

при независимом стремлении А —> +°° иЛ'-> -. в этом случае при любом а имеем.

+оо причем интеграл J /(x)dx сходится в том и только в том случае, когда сходится каждый из интегралов в правой части.

Замечание 4.1. Для обозначения факта сходимости несобственного интеграла (4.1) от неотрицательной функции/в некоторых пособиях используют условный символ.

(так же как и для обозначения сходимости интеграла от неположительной фуНКЦИИ-СИМВОЛ J f (x)dx > —оо).

а

Рассмотрим несколько примеров.

Пример 4.1.

Пользуясь определением, выяснить, сходится ли несобственный интеграл (если сходится, то найти его значение):

Решение, а) Функция — интегрируема по Риману на любом конечном хр отрезке [а, А] (А > а). При р * 1 находим.

Перейдем к пределу:

А^, —р При р > 1 имеем lim -= 0, а значит, интеграл сходится (к своему зна;

А—"+<�" 1 — р

а ^1-р Л¹-?

чению-). При р < 1 имеем lim-= -н", а значит, интеграл расходится.

р -1 л-«+~ 1-р

+°° cix.

При р = 1 имеем { — = In дс| °° = +°°, т. е. интеграл расходится, о *.

а¹~Р

Итак, при р > 1 интеграл сходится к числу-, а при р < 1 — расходится р-1.

• (к+~).
• б) Функция— интегрируема по Риману на любом конечном отрезке
• 1 + х²

A dx _А

[О, А] (А > 0), причем J-— = arctgx|_Q = arctg А. Так как для этого интеграла о 1 + х.

_Л «» _/0 Г dx

при, А —> +оо существует конечный предел, равный я/2, то интеграл J-— схо;

о 1 + ^Л‘.

дится (и равен л/2).

в) Аналогично получаем:

г) Имеем

д) Имеем.

V и

Поскольку этот предел не существует, то данный интеграл расходится.