Полная механическая энергия

Пусть частица движется в поле консервативной силы (4.33). В этом случае второй закон Ньютона можно записать так:

где U — U (г) — потенциальная энергия частицы.

называется полной механической энергией материальной точки. Эту величину можно рассматривать как сложную функцию от времени:

Величина.

Найдем производную от этой функции по времени. Производная от кинетической энергии по времени была найдена в разделе 4.5:

Для того чтобы найти производную по времени от потенциальной энергии, разделим выражение (4.35) для полного дифференциала потенциальной энергии U = U (г) на приращение времени dt. Получим.

Таким образом, производная по времени от функции (4.40) будет.

В силу второго закона Ньютона (4.38) будем иметь.

Из полученного равенства вытекает закон сохранения энергии. Если на частицу действует только консервативная сила, то полная механическая энергия частицы не изменяется при ее движении:

или где ti и <2 «произвольные моменты времени.

Пусть на частицу действуют несколько сил различной природы. Сумму консервативных сил обозначим F_Kt а сумму всех остальных сил ;

FнкЭти силы будем называть неконсервативными. Работа, совершаемая силой

равна сумме работ консервативных и неконсервативных сил:

Как показано в разделе 4.7, работа консервативной силы равна с обратным знаком приращению потенциальной энергии:

Используя эти формулы, равенства (4.26) и (4.27) можно преобразовать к виду.

и где.

Эти соотношения определяют изменение полной энергии при движении частицы. Из них следует, что приращение полной энергии частицы равно работе неконсервативных сил.

Разделив равенство (4.43) на приращение времени dt, придем к уравнению.

где Рнкс есть мощность неконсервативных сил.

Формулы (4.44) и (4.45) дают возможность сформулировать закон сохранения энергии в более общем виде. Полная механическая энергия частицы не изменяется со временем, когда неконсервативные силы работу не совершают:

то Потенциальная энергия может быть определена только с точностью до произвольного постоянного слагаемого. Это значит, что две функции U (г) и U (г), связанные соотношением.

описывают одно и то же силовое поле, так как при вычислении градиента функции U (г) постоянная в правой части равенства исчезает из выражения (4.33) для силы. Работа консервативной силы равна разности значений потенциальной энергии и поэтому на ее значение аддитивная постоянная также не оказывает влияния.