Операторы в квантовой механике

При вычислении средних значений различных физических величин в квантовой механике поступают следующим образом. Каждой физической величине а ставится в соответствие оператор а, который символизирует совокупность математических операций, производимых над волновой функцией г). Результатом этих операций является другая функция /(*, г):

Координате я частицы соответствует оператор я, который по определению равен я:

Таким образом, действие оператора я на волновую функцию ip (t, г) в данном случае сводится к ее умножению на я. В результате получим Оператор импульса р_х определяется так:

функцию.

Из этого определения следует, что.

т.е. действие оператора р_х на функцию гр состоит в дифференцировании функции по х и умножении на — i h.

Согласно определению (19.19) оператор р импульса частицы можно записать как где V — дифференциальный оператор ''набла" такой, что.

Оператор кинетической энергии Т связан с оператором импульса р так же, как кинетическая энергия частицы Т связана с ее импульсом р:

— оператор Лапласа.

Оператор потенциальной энергии равен самой потенциальной энергии:

где.

Оператор полной энергии Я называется оператором Гамильтона, или гамильтонианом. Этот оператор равен сумме операторов кинетической и потенциальной энергий:

Более подробно это символическое равенство можно записать так:

Физический смысл какого-либо оператора а в квантовой механике заключается в том, что с его помощью по формуле.

можно вычислить среднее значение величины а. В общем случае среднее значение изменяется с течением времени: а = a (t). В частном случае, когда средние значения всех физических величин, характеризующих движение микрочастицы, не зависят от времени, состояние частицы называется стационарным. Такое состояние описывается волновой функцией вида где и — постоянная, а функция у? = у?(г) зависит только от радиусвектора г. Так как комплексно сопряженная функция

подстановка функции (19.26) в формулу (19.25) дает среднее значение.

которое не изменяется с течением времени.

Подстановка функции (19.26) в условие нормировки (19.17) приводит к равенству.