Решение нелинейных уравнений. 
Метод касательных (ньютона)

Метод Ньютона является наиболее эффективным методом решения нелинейных уравнений. Пусть корень, т. е.. Предполагаем, что функция непрерывна на отрезке и дважды непрерывно дифференцируема на интервале. Положим. Проведем касательную к графику функции в точке (рис. 1).

Рисунок 1 — График функции.

Уравнение касательной будет иметь вид: .

Первое пересечение получим, взяв абсциссу точки пересечения этой касательной с осью, т. е. положив: .

Аналогично поступим с точкой, затем с точкой и т. д., в результате получим последовательность приближений, причем.

. (1).

Формула (1) является расчетной формулой метода Ньютона.

Метод Ньютона можно рассматривать как частный случай метода простых итераций, для которого .

Сходимость метода. Сходимость метода Ньютона устанавливает следующая теорема.

Теорема. Пусть — простой корень уравнения и в некоторой окрестности этого корня функция дважды непрерывно дифференцируема. Тогда найдется такая малая — окрестность корня, что при произвольном выборе начального приближения из этой окрестности итерационная последовательность, определенная по формуле (1) не выходит за пределы этой окрестности и справедлива оценка:

(2).

где .

Сходимость метода Ньютона зависит от того, насколько близко к корню выбрано начальное приближение.

Выбор начального приближения. Пусть — отрезок, содержащий корень. Если в качестве начального приближения выбрать тот из концов отрезка, для которого, то итерации (1) сходятся, причем монотонно. Рис. 8 соответствует случаю, когда в качестве начального приближения был выбран правый конец отрезка: (Здесь).

Погрешность метода. Оценка (2) неудобна для практического использования. На практике пользуются следующие оценки погрешности:

. (3).

Критерий окончания. Оценка (3) позволяет сформулировать следующий критерий окончания итераций метода Ньютона. При заданной точности вычисления нужно вести до тех пор, пока не будет выполнено неравенство .