Приложения 1 Основные уравнения статических электрического и магнитного полей

Ко времени создания Дж. К. Максвеллом теории электромагнитного поля были известны законы для статических полей, т. е. полей, не изменяющихся во времени. Основные из них следующие.

Равенство Гаусса Если в некотором объеме пространства V имеется заряд Q, то

где интеграл взят по поверхности S, ограничивающей объем V. Выражение (П. 1.1) есть равенство Гаусса в интегральной форме. Для перехода к дифференциальной форме записи поделим левую и правую части равенства на Г и найдем предел при стремлении Г к О.

Выражение в левой части равенства называется дивергенцией вектора Ё

а Нш^г = Рз — объемная плотность электрического заряда.

Отсюда получаем равенство Гаусса в дифференциальной форме где р _t и Q связаны соотношением q = J р₃ • d V.

V

Теорема о циркуляции вектора Н

При протекании в проводнике тока I

где интеграл берется по заданному контуру, охватывающему проводник. Дифференциальная форма записи теоремы о циркуляции может быть получена путем деления равенства (П. 1.3) на площадь S, ограниченную контуром /, и перехода к пределу при 5* —> 0:

Выражение в левой части называется ротором вектора Н, а в правой части при стремлении S —" 0 получаем плотность тока. Таким образом, дифференциальная форма записи теоремы о циркуляции вектора Н имеет следующий вид:

Плотность / связана с током / соотношением.

J пр пр

Запишем полную систему уравнений для статических полей.

Две идеи Максвелла, которые привели к созданию теории электромагнитного поля

Вихревое электрическое поле В 1831 г. М. Фарадей открыл явление электромагнитной индукции, согласно которому в замкнутом контуре из проводника возникает электродвижущая сила? при изменении во времени магнитного потока Ф, пронизывающего плоскость контура:

Дж. К. Максвелл предположил, что электрический ток в проводнике, наблюдавшийся Фарадеем, обусловлен появлением в пространстве замкнутых силовых линий напряженности электрического поля Ё.

Поскольку ЭДС? и напряженность Е связаны соотношением.

где интеграл берется по замкнутому контуру / (наличие проводника необязательно), а магнитный поток.

где б¹ — площадь поверхности, ограниченной линией /, то.

Заменяя интеграл по линии / на интеграл по поверхности S с помощью теоремы Стокса:

получим.

Поскольку поверхность S — произвольная, то полученное соотношение выполняется при условии.

Таким образом, если источниками статических электрических полей являются заряды, в соответствии с уравнением.

то источниками переменного электрического поля могут быть силовые линии магнитного поля, если магнитная индукция В зависит от времени. При этом электрическое поле получается вихревым, т. е. силовые линии Е замкнуты.

Ток смещения Если электрическая цепь замкнута и содержит источник постоянного напряжения, то в цепи существует постоянный ток и линии плотности тока 7 замкнуты, что можно выразить уравнением

При замене источника постоянного напряжения на источник переменного напряжения и включении последовательно в контур конденсатора в цепи существует переменный ток.

где q — заряд на обкладках конденсатора.

Поскольку, а

где р₍ — объемная плотность заряда, то.

Заменив поверхностный интеграл объемным и используя теорему Гаусса

получим.

Это равенство при произвольном объеме V выполняется только, когда

Известно, что divE = —, отсюда divy_n = -div-^^- и ^{? 1} d t

Сравнивая полученное соотношение с (П. 2.1), замечаем, что линии плотности переменного тока оказываются замкнутыми, если к плотности тока проводимости j, существующего там, где имеются подвижные заряды, добавить плотность тока смещения.

который имеется там, где нет зарядов, но есть изменяющаяся во времени напряженность электрического поля Е.

Таким образом, идея Максвелла состояла в том, что в пространстве, где отсутствуют движущиеся заряды, но имеется переменное поле Е, возникает ток смещения, вокруг которого, так же как и вокруг тока проводимости, образуется магнитное поле.

В результате в случае переменных полей первое уравнение Максвелла может быть записано в виде.