Определение угла ?3 при нелинейном конденсаторе на выходе четырехполюсника

Кулон-вольтную характеристику конденсатора опишем формулой и_с = a₂sh$₂q. Положим, что заряд q = Qjsincot + Q₃sin (3cot + f₃). Теперь угол р₃ представляет собой аргумент третьей гармоники заряда. Обозначим х₂ = (3₂Qi и У2 = P2Q3 ^и определим напряжение на выходе четырехполюсника:

Амплитуды напряжений U_21S, U_21C, U_23S, U_23C в последнем выражении определяются так же, как определялись амплитуды токов I_21S, I_21C, I_23S,

1_23С в параграфе Ш0.2 по формулам (П10.5) и (П10.6) с тем отличием, что а, х и у в этих формулах надо будет заменить, соответственно, на а₂, х₂ и у₂. Справедливы будут и формулы (П10.7)—(П10.10), (П10.12), (П10.13), если в них сделать замену а, х и у на а₂, х₂иу₂и определять по ним не I₂₁, v₂, /₂₃, v₃, a U₂₁, v", U₂₃, v₃.

Мгновенное значение тока i₂ теперь будет.

Составим уравнение по второму закону Кирхгофа для схемы замещения на третьей гармонике при индуктивном характере сопротивления^лЗ = R₃ + j3coL:

После небольших преобразований, подобных проделанным в параграфах П10.3 и П10.4, получим уравнение для определения угла |/₃:

Теперь функция оказалась в левой части формулы (П10.22), а не в правой, как это было в двух предыдущих параграфах (F₄ по-прежнему определяется формулой (П10.12)). Теперь v₃ — это аргумент напряжения U₂₃ = U₂₃ei^vз, а не тока.

По-прежнему из двух формально возможных решений для угла физике процесса будет соответствовать только одно решение (в рассматриваемом случае при ф_л3 > 0 значение)/₃ < 0).

На рис. П10.4 качественно построена векторная диаграмма, на которой изображены векторы амплитуд третьей гармоники заряда Q₃e³₃

тока /₂₃ = ~~У2^⁽'^90+х*^/3^ напряжения U₂₃ = ^Ui_3s + Ui_3ceM, углы j/₃, v₃ и направления их отсчета при ф_л3 > 0, соблюдая условие U₂₃ = -0_л3.

Рис. П10.4

Последовательность расчета цепи с учетом третьей гармоники при известном несинусоидальном напряжении на выходе четырехполюсника.

Последовательность расчета рассмотрим на примере.

Пример Схема четырехполюсника представлена на рис. П10.5, а. В ней R = 1,576 Ом, С = 1,325 мкФ, R₂= 20 Ом. Частота/^ 10⁴ Гц.

Рис. П 10.5

Вольт-амперная характеристика резистора описана формулой i = ash (3u, коэффициенты a = 0,0122 А, (3 = 0,4 В^-1.

Решение. Подсчитываем сопротивление конденсатора на частоте первой и третьей гармоник:

По формулам параграфа 4.5 находим коэффициенты A-матриц на частоте первой и третьей гармоник:

Определяем входное сопротивление четырехполюсника со стороны зажимов cd при коротком замыкании зажимов тп:

Полагаем и₂ = 12,5sinwt + 2,5sin (3cot + |/₃).

Определяемх = (3 • 12,5 = 5 и у = (3 • 2,5 = 1.

Подсчитываем слагаемые формулы (П10.15).

При х = 5 иу = 1 из табл. П 10.1 определяем/₂ = -0,9 447 и/₃ = 0,8536; Щ₃ =

= 2,5² = 6,25; Щ+ —) = 4,3² =18,4875.

^ЗсоС )

По формуле (П10.6) коэффициент.

Подставляем числовые значения всех перечисленных величин в уравнение (П10.15):

и определяем из него угол |/₃, задаваясь несколькими его значениями. Путем интерполяции получаем |/₃ = ±110°.

Так как Z_n3 имеет емкостной характер, то в соответствии с рис. П10.2, а аргумент й₂₃ принимаем равным |/₃ = -110°.

Записываем напряжение на выходе четырехполюсника:

Определяем модуль и аргумент тока /₂з =^2з^е;Уз> полагая при подсчете в соответствии с векторной диаграммой в формулах для угла v₃ и модуля /₂₃, что j/₃ = +110°:

Напряжение на линейном сопротивлении.

Определяем комплексную амплитуду тока /₂₁ первой гармоники на выходе четырехполюсника, имея в виду, что при х = 5 и у = 1 функция^ = -0,319, а коэффициент а по формуле (П10.6) равен.

По формуле (П10.7).

Комплексную амплитуду ЭДС на входе четырехполюсника определим по уравнению четырехполюсника:

Комплексная амплитуда тока на входе четырехполюсника.

Зная напряжения и токи первой и третьей гармоник на входе и выходе четырехполюсника, по законам Кирхгофа можно определить ток и напряжение любой ветви четырехполюсника.

Активная и реактивная мощности на входе.

Векторные диаграммы для третьей и первой гармоник даны на рис. П10.5, б и в.

В заключение отметим, что аналогичным путем можно было бы учесть в расчете и пятую гармонику. С этой целью в случае резистивного нелинейного сопротивления в правую часть формулы (П10.3) следовало бы добавить слагаемое U₂₅sin (5cot + ц/₅), вывести новые формулы для первой, третьей и пятой гармоник тока, более полные формулы для функций /i,/₂,/₃, новые формулы для модулей и аргументов комплексов токов.