Определение и основная формула

Ненаправленный граф представляет собой топологическое изображение самой электрической схемы. Узлы и ветви этого графа соответствуют ее узлам и ветвям. В ненаправленных графах, в отличие от направленных, стрелок на ветвях не ставят. Свойства ветвей характеризуют их проводимости. Передачи ветвей, имеющие размерность проводимости, в дальнейшем обозначены латинскими буквами а, Ь, с, …. Поскольку каждой планарной электрической цепи может быть сопоставлена некоторая дуальная ей цепь, то каждому ненаправленному графу может соответствовать дуальный граф. При работе с ненаправленными графами основной является формула^[1]

где I — ток, протекающий по некоторой выбранной ветви графа, относительно которой и определяется входная или взаимная проводимость; В_тп — напряжение (ток) источника питания схемы, присоединенного к узлам тип; С_г — произведение проводимостей ветвей пути между узлами тип, проходящего по выбранной ветви; Д_г — определитель для системы, полученной из исходной при коротком замыкании (закорачивании) ветвей выбранного пути С_г; Д — определитель исходной электрической схемы.

Правая часть (П1.3) по структуре полностью аналогична формуле Мэзона (П1.1) для направленных графов.

Формулу (П1.3) используют для нахождения входного сопротивления (входной проводимости), взаимной проводимости ветвей и др.

Число членов С_ГД_Г в числителе (П1.3) равно числу возможных путей между узлами тип графа. В это число не входит путь от т к п через источник питания схемы. Определитель Д мог бы быть получен как определитель матрицы узловых проводимостей, составленной по методу узловых потенциалов. Однако такой способ подсчета Д довольно громоздок и трудоемок. Дело в том, что при вычислении Д путем раскрытия определителя упомянутой матрицы пришлось бы иметь дело с большим числом слагаемых, часть которых имела бы одинаковые абсолютные значения, но различные знаки (эти слагаемые соответствуют так называемым избыткам в каждой строке определителя).

Расчет Д, при котором не возникает взаимно уничтожающих друг друга слагаемых, осуществляют путем вычисления его как суммы величин всех возможных деревьев данного графа. Как упоминалось в параграфе 2.8, под деревом понимают совокупность ветвей, которые касаются всех узлов, но не образуют ни одного замкнутого контура. Ветви графа, не вошедшие в данное дерево, называют хордами или ветвями связи. Для простейшего графа (рис. П1.6, а) образуемые деревья показаны на рис. П1.6, б — г.

Рис. т.б

Величина дерева равна произведению проводимостей ветвей этого дерева. Величина дерева на рис. П1.6, б равна ab, дерева на рис. П1.6, в — Ъс, дерева на рис. П1.6, г — ас. Определитель графа на рис. П1.6, а

Определитель, А матрицы узловых проводимостей G (см. параграф 2.22), как показано в параграфе 2.35, равен произведению трех топологических матриц [А] [g_B] [А]^Т. То обстоятельство, что определитель матрицы узловых проводимостей равен сумме величин всех возможных деревьев, следует из теоремы Вине — Коши. Теорема формулируется так: определитель произведения двух матриц [Е] [F] (в рассматриваемом случае [Е] = [A][g_B], [F] = [А]^Т, причем матрица [Е] имеет размер m х п и матрица [F] размер — пхт, где т<�п, равен сумме произведений всех составляющих миноров максимального порядка т матриц [Е] и [F]. Под соответствующими минорами понимают миноры, образованные столбцами матрицы [Е] и строками матрицы [F], имеющие одинаковые номера. Матрица [А] имеет т-у — 1 строк (у — число узлов) и п = b — число столбцов (Ь — число обобщенных ветвей). Подматрицы порядка (у — 1) матрицы [А] соответствуют деревьям графа и имеют определитель, равный +1. В произведении [А] [g_B] элементы к-го столбца матрицы [А] (+1; -1; 0) умножают на проводимость /с-ветви (g_k, -g_k, 0). Поэтому все ненулевые миноры порядка (у — 1) матрицы [А] [g_B] соответствуют деревьям схемы, а величина i ненулевого минора равна взятому со знаком «плюс» («минус») произведению проводимостей ветвей i-дерева. Так как перестановка строк и столбцов матрицы [А]^Т (по сравнению с матрицей [А]) не изменяет величины минора, то ненулевые миноры матрицы [А]^т соответствуют деревьям схемы и равны ±1. Так как знаки соответствующих ненулевых миноров матриц [A] [g_B] и [А]^т одинаковы, то их произведения положительны, а сумма произведений всех соответствующих миноров равна сумме величин всех возможных деревьев.

• [1] В общем случае роль I в формуле (П1.3) может выполнять не только ток, но и напряжение.