Сложение взаимно перпендикулярных колебаний. 
Фигуры Лиссажу

При сложении взаимно перпендикулярных колебаний траектория колеблющейся точки имеет своеобразный вид. Точка, совершающая гармонические колебания одновременно в двух взаимно перпендикулярных направлениях, выписывает фигуры Лиссажу.

Пусть малое тело колеблется на взаимно перпендикулярных пружинках одинаковой жесткости (рис. 6.4). В этом случае очевидно, что частота обоих колебаний одинакова. При этом в общем случае амплитуды А и В равные и имеется сдвиг по фазе а:

Найдем траекторию движения тела. Для получения зависимости между координатами надо из уравнений (6.7) исключить время. Воспользуемся для этого формулой косинуса суммы cos (co? + а) = cos (cof)cosa — sin (cof)sina,.

х / х²

выразив из уравнений (6.7) cos (coi) = - и sin (coi) =.

Л V л

Избавимся от корня, оставив его одного в правой части и возведя уравнение в квадрат. После преобразований получим.

Из линейной алгебры известно, что это уравнение эллипса.

Рассмотрим частные случаи.

• 1. Сдвиг по фазе между колебаниями a = 0. В этом случае в формуле (6.8) имеем квадрат разности, и эллипс вырождается в прямую у = —х. Учитывая, что в соответствии с формулами (6.6) и (6.7) хи у ограничены косинусом, получим, что тело колеблется по отрезку, расположенному в I и III координатных четвертях.
• 2. Сдвиг по фазе между колебаниями a = ±п. Аналогично — тело колеблется по отрезку, расположенному во II и IV координатных четвертях.
• 3. Сдвиг по фазе между колебаниями a = ±л/2. По формуле (6.8) траек-

X² у²

торией является эллипс ^ = 1. При этом если a = л/2, то тело движется по часовой стрелке, а если a = -п/2, то против.

Интересен и информативен случай, когда частоты исходных колебаний относятся как целые числа. Простейший пример: x (t) = Asin (cof), y (t) = = Bs (2(ot). При построении по точкам получим фигуру Лиссажу типа восьмерки. Таким образом, по виду фигур Лиссажу можно определить соотношение частот и фаз складываемых колебаний.