Расчетно-графическая работа № 2

Работа представляет собой статический расчет стержневой пространственной конструкции, шарнирно закрепленной на монолитном фундаменте. Стержни связаны между собой также идеальными сферическими шарнирами.

Состав задания.

• 1). Определить усилия во всех стержнях конструкции методом вырезания узлов (А, В и С)
• 2). Привести систему заданных сил (F₁, F₂ и F₃) к заданному центру О, расположенному на верхней поверхности фундамента и найти положение центральной оси системы заданных сил
• 3). Привести систему приложенных к фундаменту реакций стержней и убедиться в правильности решения задачи.

Схемы конструкций и варианты заданий

Пример выполнения расчетно-графической работы № 2

Работа представляет собой статический расчет пространственной стержневой конструкции, опирающейся на монолитный фундамент с помощью сферических шарниров. Определяются усилия во всех стержнях конструкции методом вырезания узлов. Кроме того, выясняется общее силовое воздействие на фундамент со стороны стержневой конструкции путем приведения системы сил к заданному центру О на верхней поверхности фундамента.

Расчетная схема узла А

Уравнения равновесия :

• 1. У X = F1 sin б+ R2 = 0; 2. У Y = - F1 cos б — R3 cos в = 0;
• 3. У Z = - R₁ — R₃ sin в = 0.

При значениях функций.

sin б = 0,6; cos б = 0,8; sin в = 0,447; cos в = 0,895 из уравнений.

найдем R₂ = - 0,6 кН, R₃ = - 0,894 кН, R₁ = 0,4 кН.

Расчетная схема узла В

Уравнения равновесия.

• 4. У X = R₂ — R₄ sin д — R₆ cos г sin б = 0;
• 5. У Y = - R₆ cos г cos б = 0;
• 6. У Z = - F₂ — R₅ — R₄ cos д — R₆ sin г = 0.

Значения функций sin г = 0,37; cos г = 0,93; sin д = 0,6; cos д = 0,8.

Результаты решения уравнений R₆ = 0, R₄ = 1,0 кН, R₅ = - 2,8 кН Расчетная схема узла С

Уравнения равновесия.

• 7. У X = F₃ + R₉ cos ц = 0,
• 8. У Y = R₇ cos в — R₃ cos в = 0,
• 9. У Z = - R₈ — R₃ sin в - R₇ sin в - R₉ sin ц = 0.

Вычислив значения функций cos ц = 0,83; sin ц = 0,55; из уравнений равновесия найдем R₉ = - 3,6 кН; R₇ = 0,89 кН; R₈ = 1,2 кН.

Рассмотрим систему сил, действующих на фундамент со стороны стержней. При этом следует реакции растянутых стержней направлять «от узла», расположенного на фундаменте, а сжатых стержней «к узлу».

Приведем эту систему сил к заданному центру О на поверхности фундамента. Проекции главного вектора V на оси координат.

V_x = У X = R₉ cos ц + R₄ sin д = 3,6 кН; V_y = У Y = - R₇ cos в = - 0,8 кН;

V_z = У Z = R₁ + R₄ cos д — R₅ + R₇ sin в + R₈ — R₉ sin ц = - 2,0 кН Величина главного вектора.

V = = 4,2 кН Проекции главного момента M_o

M_ox = У M_x = R₁ 0,5 b + R₄ cos д 0,5 b — R₅ 0,5 b + R₇ sin в 0,5 b — R₈ 0,5 b + R₉ sin ц = - 0,8 кНм.

M_oy = У M_y = R₁ 0,5 a+ R₄ cos д 0,5 + R₇ sin в 0,5 a + R₈ 0,5 a + R₉ sin ц 0,5 a + R₅ 0,5 a =11,4 кНм.

M_oz = У M_z = - R₄ sin д 0,5 b + R₇ cos в 0,5 a + R₉ cos ц 0,5 b = 6,0 кНм Величина главного момента.

M_o = = 12,9 кНм Для проверки выполненных расчетов найдем проекции главного вектора и главного момента для системы заданных сил F₁,, F₂ и F_3.

V_x = У X = 3,6 кН; V_y = У Y = = - 0,8 кН; V_z = У Z = - 2,0 кН.

M_ox = У M_x = F₁ cos б 2h — F₂ 0,5b = - 0,8 кНм.

M_oy = У M_y = F₃ h + F₁ sin б 2h + F₂ 0,5 a = 11,4 кНм.

M_oz = У M_z = F₃ 0,5b = 3,0×2,0 = 6,0 кНм Результаты совпадают, следовательно, расчеты выполнены правильно.

Определим, к какому простейшему виду приводится система сил.

Так как V? 0 и M_o? 0, то система сил приводится либо к равнодействующей, либо к «динаме» — силовому винту.

Найдем скалярное произведение главного момента и главного вектора.

M_o V cos (M_o^V) = M_x V_x + M_y V_y + M_z V_z = (-0,8) 3,6 + 11,4 (-0,8) + 6,0 (- 2,0) = - 24? 0.

Главный момент и главный вектор не перпендикулярны друг другу, следовательно система сил приводится к динаме.

Моментом динамы M_D называется проекция главного момента на линию действия главного вектора, поэтому M_D можно найти по формуле.

M_D = (M_ox V_x + M_oy V_y + M_oz V_z) / V = -24 / 4,2 = -5,72 кНм Знак минус означает, что вектор M_D направлен противоположно вектору V .

Расположение центральной оси системы определим, исходя из того, что векторы M_D и V расположены на этой оси и их одноименные проекции пропорциональны, т. е. конструкция сечение узел усилие.

[M_x — (y V_z — z V_y)] / V_x = [M_y — (z V_x — x V_z)] / V_y =

= [M_z — (x V_y — y V_x)] / V_z = M_D / V ,.

где x, y и z — координаты точек, расположенных на центральной оси.

Для определения координат x₁ и y₁ точки 1 пересечения центральной оси с плоскостью хОу выберем следующие два равенства.

[M_x — (y₁ V_z — z₁ V_y)] / V_x = M_D / V, [M_y — (z₁ V_x — x₁ V_z )] / V_y = M_D / V ,.

где положим z₁ = 0.

{ - 0,8 — [ y₁ (- 2,0) — z₁ (- 0,8) ] } / 3,6 = (- 5,72) / 4,2; y₁ = - 2,05 м.

{ 11,4 — [ z₁ 3,6 — x₁ (- 2,0) ] } / (- 0,8) = (- 5,72) / 4,2; x₁ = 5,15 м Аналогично определим координаты z₂ и x₂ точки 2 пересечения центральной оси с плоскостью xOz при y₂ = 0.

[M_x — (y₂ V_z — z₂ V_y)] / V_x = M_D / V, [M_z — (x₂ V_y — y₂ V_x)] / V_y = M_D / V ,.

{ - 0,8 — [ y₂ (- 2,0) — z₂ (- 0,8) ] } / 3,6 = (- 5,72) / 4,2; z₂ = 5,12 м.

{ 6,0 — [ x₂ (- 0,8) — y₂ 3,6) ] } / (- 2,0) = (- 5,72) / 4,2; x₂ = - 4,1 м Координаты z₃ и y₃ точки 3 пересечения центральной оси с плоскостью zОу (x₃ = 0).

[M_y — (z₃ V_x — x₃ V_z)] / V_y = M_D / V, [M_z — (x₃ V_y — y₃ V_x)] / V_y = M_D / V

{ 11,4 — [ z₃ 3,6 — x₃ (- 2,0) ] } / (- 0,8) = (- 5,72) / 4,2; z₃ = 2,86 м.

{ 6,0 — [ x₃ (- 0,8) — y₃ 3,6) ] } / (- 2,0) = (- 5,72) / 4,2; y₃ = - 0,91 м.