Дискретные системы при случайных воздействиях

Основные характеристики дискретных случайных процессов

Аналогом случайной функции для дискретных систем является последовательность значений x (iT_H) в дискретные моменты i = 0, 1, 2, которая получается из непрерывной в результате ее дискретизации (рис. 3.1). Такая последовательность называется случайной решетчатой или дискретной функцией. Совокупность реализаций случайных дискретных функций образует случайный дискретный процесс.

Рис. 3.1. Образование дискретного случайного процесса.

Основные характеристики дискретного случайного процесса — функция распределения плотности вероятности р (х, iT_M) и функция распределения вероятности F (x, гТ_и), которые, как и для непрерывных случайных процессов, могут быть одномерными, двумерными и т. д. Полное знание дискретного случайного процесса требует задания всех его функций распределения. Однако в практике расчета систем достаточно ограничиться лишь некоторыми характеристиками. К ним относятся математическое ожидание, дисперсия, корреляционная функция и для стационарных процессов спектральная плотность.

Математическое ожидание дискретного случайного процесса есть среднее по множеству реализаций:

Дисперсия определяется выражением.

Корреляционная функция вычисляется по формуле.

Для стационарных процессов имеем.

Если дискретный случайный процесс эргодический, то в этом случае математическое ожидание, дисперсию и корреляционную функцию можно вычислить по одной достаточно длинной реализации с помощью следующих выражений:

Спектральную плотность дискретного стационарного случайного процесса определяют как двустороннее z-преобразование корреляционной функции:

На основании последнего выражения можно получить другую формулу для вычисления спектральной плотности [3]:

где R (z) — является z-преобразованием (односторонним) корреляционной функции.

Связь между характеристиками дискретных случайных процессов на входе и выходе дискретной системы.

Если на входе дискретной системы с весовой функцией и/(пТ_и) действует дискретный случайный сигнал х (пТ_и) с математическим ожиданием т_х(пТ_и) и корреляционной функцией R_x(i₁T_H, i₂T"), то случайный сигнал на выходе системы у (пТ_и) связан с входным следующим соотношением [16]:

Математическое ожидание случайного сигнала у (пТ_и) можно получить исходя из следующего:

После вычитания выражения (3.3) из (3.4) имеем соотношение для центрированного дискретного случайного процесса:

Корреляционная функция дискретного случайного сигнала на выходе системы определяется на основании выражения.

Дисперсию сигнала на выходе дискретной системы можно рассчитать на основе соотношения.

Взаимная корреляционная функция между сигналами на входе и выходе дискретной системы вычисляется как.

По аналогии с (3.7) получим.

Так как характеристики стационарного дискретного случайного процесса определяются соотношениями (3.1), то выражения (3.4)—(3.8) принимают следующий вид:

Известно, что система асимптотически устойчива, если выполняется условие [3].

Для асимптотически устойчивой системы в установившемся режиме (п —> оо) из соотношений (3.9) получаем:

Из последних соотношений следует, что если на входе стационарной асимптотически устойчивой дискретной системы действует стационарный случайный сигнал, то выходная переменная этой системы в установившемся режиме также представляет собой стационарный случайный сигнал.

Так как комплексный коэффициент усиления дискретной системы W" ^l(jco) выражается через ее весовую функцию iv (nT_H) с помощью соотношения [16].

то математическое ожидание выходного сигнала дискретной системы в установившемся режиме.

Для нахождения соотношения между спектральными плотностями стационарных сигналов на входе х (пТ_и) и выходе у (пТ_и) дискретной системы в установившемся режиме умножим правую и левую части корреляционной функции Я_у(тГ_и) на e^_j^{H и просуммируем по т в бесконечных пределах:}

^{Если учесть выражение для спектральной плотности дискретного случайного сигнала (3.2), то соотношение (3.11) можно представить как}

^{После подстановки в последнее соотношение значения комплексного коэффициента усиления дискретной системы (3.10), оно примет вид}

^{По аналогии с выводом соотношения (3.12), можно показать, что взаимная спектральная плотность между сигналами на входе и выходе дискретной системы определяется следующими соотношениями:}

^{Для корреляционной функции дискретного стационарного случайного процесса справедливо равенство [3]}

^{На основе последнего соотношения выражение для дисперсии случайного процесса у (пТ_и) на выходе системы имеет вид}