Сравнение нескольких средних методом дисперсионного анализа

Вернемся к задаче, поставленной в § 1: проверить при заданном уровне значимости нулевую гипотезу о равенстве нескольких (р > 2) средних нормальных совокупностей с неизвестными, но одинаковыми дисперсиями. Покажем, что решение этой задачи сводится к сравнению факторной и остаточной дисперсий по критерию Фишера — Снедекора (см. гл. 19, § 8).

1. Пусть нулевая гипотеза о равенстве нескольких средних (далее будем называть их групповыми) правильна. В этом случае факторная и остаточная дисперсии являются несмещенными оценками неизвестной генеральной дисперсии (см. § 4) и, следовательно, различаются незначимо. Если сравнить эти оценки по критерию F, то очевидно, критерий укажет, что нулевую гипотезу о равенстве факторной и остаточной дисперсий следует принять.

Таким образом, если гипотеза о равенстве групповых средних правильна, то верна и гипотеза о равенстве факторной и остаточной дисперсий.

2. Пусть нулевая гипотеза о равенстве групповых средних ложна. В этом случае с возрастанием расхождения между групповыми средними увеличивается факторная дисперсия, а вместе с ней и отношение Е_набл = 5ф_акт /s?._T. В итоге Е_наб" окажется больше F_K|) и, следовательно, гипотеза о равенстве дисперсий будет отвергнута.

Таким образом, если гипотеза о равенстве групповых средних ложна, то ложна и гипотеза о равенстве факторной и остаточной дисперсий.

Легко доказать от противного справедливость обратных утверждений: из правильности (ложности) гипотезы о дисперсиях следует правильность (ложность) гипотезы о средних.

Итак, для того чтобы проверить пулевую гипотезу о равенстве групповых средних нормальных совокупностей с одинаковыми дисперсиями, достаточно проверить по критерию F нулевую гипотезу о равенстве факторной и остаточной дисперсий. В этом и состоит метод дисперсионного анализа.

• 3 а м е ч, а н и е 1. Если факторная дисперсия окажется меньше остаточной, то уже отсюда следует справедливость гипотезы о равенстве групповых средних и, значит, нет надобности прибегать к критерию F.
• 3 а м е ч, а и и е 2. Если нет уверенности в справедливости предположения о равенстве дисперсий рассматриваемых/) совокупностей, то это предположение следует проверить предварительно, например, по критерию Кочрена.

Пример. Произведено по 4 испытания на каждом из трех уровней. Результаты испытаний приведены в табл. 32. Методом дисперсионного анализа при уровне значимости 0,05 проверить нулевую гипотезу о равенстве.

Таблица 32

групповых средних. Предполагается, что выборки извлечены из нормальных совокупностей с одинаковыми дисперсиями.

Р е ш е н и е. Для упрощения расчета вычтем С = 52 из каждого наблюдаемого значения: у. = х. - 52. Составим расчетную табл. 33.

Пользуясь таблицей и учитывая, что число уровней факторар = 3, число испытаний на каждом уровне q = 4, найдем общую и факторную суммы квадратов отклонений (см. § 2, формулы (***) и (****)):

Таблица 33.

Найдем остаточную сумму квадратов отклонений:

Найдем факторную и остаточную дисперсии:

Сравним факторную и остаточную дисперсии по критерию F (см. гл. 19, § 8), для чего найдем наблюдаемое значение критерия:

Учитывая, что число степеней свободы числителя k_{ = 2, а знаменателя k₂ = 9 и уровень значимости а = 0,05, по таблице приложения 7 находим критическую точку:

Так как F _абл > F — нулевую гипотезу о равенстве групповых средних отвергаем. Другими словами, групповые средние «в целом» различаются значимо. Если требуется сравнить средние попарно, то следует воспользоваться критерием Стьюдента.

Замечание 3. Если наблюдаемые значения х. — десятичные дроби с одним знаком после запятой, то целесообразно перейти к числам у. = 1 Ох. — C_f где С — примерно среднее значение чисел 1 Ох. В итоге получим сравнительно небольшие целые числа. Хотя при этом факторная и остаточная дисперсии увеличиваются в 10² раз, их отношение не изменится. Например, если*, = 12,1, х, = 12,2, = 12,6, то, приняв#, • = 10-х.;

— 123, получим: у_и = 121 — 123 = -2,#₂₁ = 122 -123 = -1,#₃₁ = 126−123 = 3.*.

Аналогично поступают, если после запятой имеется к знаков: