Устойчивость при постоянно действующих возмущениях

Выше мы рассматривали устойчивость невозмущенного движения, когда возмущенные движения были обусловлены ненулевыми начальными условиями. В этом параграфе рассмотрим случай, когда на систему постоянно действуют возмущения.

Наряду с неав'~'^,*~*^,«~^л

рассмотрим неавтономную систему.

где R (x, t) — неизвестная функция, характеризующая постоянно действующие возмущения. В общем случае R (0, t) ф 0 и невозмущенное движение х = 0 не является решением уравнения (4.15).

Определение 4.1. Положение равновесия х = 0 системы (4.14) называется устойчивым при постоянно действующих возмущениях, если для любого малого положительного числа е найдутся такие положительные числа So и <5i, что при выполнении неравенства |R (x, t)|е и t ^ to возмущенное движение системы (4.15) подчиняется неравенству |х (х°,*)| <�е при любых |х°| < <$о и t > to.

Нестрого говоря, устойчивость при постоянно действующих возмущениях означает, что при малых возмущениях отклонения возмущенного движения от невозмущенного движения малы.

Теорема 4.13 (теорема Малкина об устойчивости при постоянно действующих возмущениях). Положение равновесия х = 0 неавтономной системы (4.14) устойчиво при постоянно действующих возмущениях, если существует такая положительно определенная функция V (x, t), допускающая бесконечно малый верхний предел, что ее производная по времени в силу уравнения этой системы является отрицательно определенной функцией, и ее градиент удовлетворяет неравенству

где N — положительная константа.

Доказательство. Так как V (x,?) является положительно определенной функцией, то существует положительно определенная функция tui (x), удовлетворяющая неравенству V (x, t) ^ гщ (х). Обозначим через т минимальное значение этой функции на сфере S_c радиуса е:

На сфере S_e при всех t ^ to

Так как V (x, t) допускает бесконечно малый верхний предел, то существует такое положительное число So, что при |х| ^ <$о.

Пусть 1/(_U) — производная по времени функции V (x, t) в силу уравнения (4.14). В связи с тем, что производная У (4) является отрицательно определенной функцией, существует положительно определенная функция и>2(х) такая, что при всех t ^ to- В силу положительной определенности функции и>2(х) существует положительное число h такое, что и>2(х) > h или — адг (х) < —h при |х| > JoПоэтому имеем.

Если обозначить V (i5) производную по времени функции V (x, t) в силу уравнения (4.15), то получим.

или Согласно неравенству Коши-Шварца [32].

имеем.

Используя это соотношение, а также соотношение (4.16) и полученное выше неравенство для V (i4)(x, ?), находим.

Пусть |R (x,?)| < 8 = h/(2N) при |х| ^ е и всех t^to- Тогда из последнего неравенства имеем.

Решение х (х°,?) уравнения (4.15) при |х°| < So удовлетворяет неравенству

Действительно, в силу (4.18) имеем.

Если допустить, что х (х°, ?i) = е в какой-то момент t =.

А это означает, что функция V (x (x°_yt), t) в некоторой окрестности t возрастает, что противоречит условию (4.20). Теорема доказана.