Решение уравнений Эйри и Бесселя

УРАВНЕНИЕ ЭЙРИ.

Если коэффициенты линейного дифференциального уравнения являются аналитическими функциями, т. е. представимы в виде степенных рядов, то решение уравнения можно искать в виде степенного ряда с неопределенными коэффициентами. Для этого разложим коэффициенты уравнения также в степенные ряды и подставим искомое решение, получим уравнение для коэффициентов, которые отыскивается методом неопределенных коэффициентов.

Рассмотрим применение метода на следующем примере.

Найти общее решение уравнения Эйри .

Ищем решение в виде степенного ряда :

.

Приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях:

Отсюда следует. Из этой системы равенств имеем.

Полагая сначала, найдем.

(1).

Затем, получим.

(2).

По признаку Даламбера сходимости рядов легко устанавливается интервал сходимости этих рядов — он равен .

Покажем теперь, что функции и являются линейно независимыми частными решениями уравнения Эйри (1). Предположим противное при. Положим. Следовательно, должно выполняться равенство. Тогда имеем, а это противоречит условию .

Итак, решения и образуют фундаментальную систему решений уравнения (1). Общее решение уравнения Эйри имеет вид:

.

Где и — произвольные постоянные.

Уравнение Бесселя.

Линейное дифференциальное уравнение с переменными коэффициентами, имеющее вид, ,(2.1).

называется уравнением Бесселя.

Решение уравнения (2.1) будем искать в виде обобщенного степенного ряда, т. е. произведения некоторой степени на степной ряд:

(2.2).

Подставляя обобщенный степенной ряд в уравнение (2.1) и приравнивая нулю коэффициенты при каждой степени в левой части уравнения, получим систему.

Считая, что из данной системы находим Пусть Тогда из второго уравнения системы находим, а из уравнения придавая значения 3,5,7,…, заключаем, что Для коэффициентов с четными номерами получаем выражения.

Подставляя найденные коэффициенты в ряд (2.2), получим решение.

где коэффициент остается произвольным.

При все коэффициенты аналогично определяются только в случае, когда не равно целому числу. Тогда решение можно получить, заменяя в предыдущем решении величину на :

Полученные степенные ряды сходятся для всех значений, что легко устанавливается на основании признака Даламбера. Решения и линейно независимы, так как их отношение не является постоянным.

Решение умноженное на постоянную называется функцией Бесселя (или цилиндрической функцией) порядка первого рода и обозначается символом Решение обозначают.

В общепринятом выборе постоянной участвует гамма-функция которая определяется несобственным интегралом:

Следовательно, общее решение уравнения (2.1) при не равном целому числу, имеет вид где и — произвольные постоянные величины.