Метод контурных токов

При расчете методом контурных токов полагают, что в каждом независимом контуре схемы течет свой контурный ток. Уравнения составляют относительно контурных токов, после чего через них определяют токи ветвей.

Рис. 31.

Таким образом, метод контурных токов можно определить как метод расчета, в котором за искомые принимают контурные токи. Число неизвестных в этом методе равно числу уравнений, которые необходимо было бы составить для схемы по второму закону Кирхгофа.

Следовательно, метод контурных токов более экономен при вычислительной работе, чем метод на основе законов Кирхгофа (в нем меньшее число уравнений).

Вывод основных расчетных уравнений приведем применительно к схеме рис. 30, в которой два независимых контура. Положим, что в левом контуре по часовой стрелке течет контурный ток I₁₁, а в правой (также по часовой стрелке) — контурный ток I ₂₂. Для каждого контура составим уравнения по второму закону Кирхгофа. При этом учтем, что по смежной ветви (с сопротивлением R₅) течет сверху вниз ток (I₁₁-I₂₂). Направления обхода контуров примем также по часовой стрелке. Для первого контура.

(а)

или.

(б)

Для второго контура или В уравнении (б) множитель при токе 1₁₁, является суммой сопротивлений первого контура, обозначим через R₁₁, множитель при токе 1₂₂ (сопротивление смежной ветви, взятое со знаком минус) — через R₁₂. Перепишем эти уравнения следующим образом:

Здесь — полное собственное сопротивление первого контура,.

— сопротивление смежной цепи между первым и вторым контурами, взятое со знаком минус,.

— контурная ЭДС первого контура, равная алгебраической сумме ЭДС этого контура (в нее со знаком плюс входят те ЭДС, направление которых с направлением обхода контура),.

• — полное собственное сопротивление второго контура,
• — контурная ЭДС второго контура.

Если в схеме больше двух контуров, например три, то система уравнений выглядит следующим образом:

или в матричной форме:

;

; ;

Рекомендуется для единообразия в знаках сопротивлений с разными индексами все контурные токи направлять в одну и ту же сторону, например по часовой стрелке.

В результате решения системы уравнений какой-либо один или несколько контурных токов могут оказаться отрицательными.

В ветвях, не являющихся смежными между соседними контурами (например, в ветви с сопротивлениями R_1, R₂ схемы, найденный контурный ток является действительным током ветви. В смежных ветвях через контурные токи определяют токи ветвей. Например, в ветви с сопротивлением R₅ протекающий сверху вниз ток равен разности (I₁₁-I₂₂).

Примечание: если провести из верхнего левого угла определителя диагональ в правый нижний угол и учесть, что R₁₂= R₂₁, то модно увидеть, что определитель делится на две зеркальные половины (свойство симметрии относительной главной диагонали,).

Пример. Определить токи во всех участках сложной цепи (рис. 37), если: E₁ = 130 В; E₂ = 40 В; E₃=100 В; R₁ = 1 Ом; R₂ = 4,5 Ом; R₃ = 2 Ом; R₄ = 4 0 м; R₅=10 Ом; R₆ = 5 Ом; R₀₂ = 0,5 Ом; R₀₁ =R₀₃ = 0.

Решение. Необходимо составить 3 уравнения по второму закону Кирхгофа для определения контурных токов А, Ai и /_т (направление контурных токов выбрано произвольно и указано пунктирными линиями).

Подставляются числовые значения заданных величин.

Решая эту систему, получим контурные токи I₁₁=10 A, I₂₂=2 A, I₃₃=5 A.

Вычислим реальные токи в заданной цепи:

I₁= I₁₁=10 A, I₂= I₂₂=2 A, I₃= I₃₃=5 A, I₄= I₁₁ + I₃₃ =10+5=15 A,.

I₅=I₃₃-I₂₂=5−2=3 A, I₆= I₁₁ + I₂₂ =10+2=12 A.