Геометрическая интерпретация эллиптического преобразования

Рассмотрим произвольную сферу, расположенную таким образом, чтобы неподвижные точки и z₂ эллиптического преобразования были стереографическими проекциями концов некоторого диаметра сферы.

Легко видеть, что семейству окружностей плоскости, проходящих через z_y и z₂, будут соответствовать большие круги сферы, проходящие через концы диаметра (меридианы), и семейству окружностей плоскости, ортогональных к первым, будут соответствовать круги сферы, плоскости которых перпендикулярны к диаметру (параллели). При эллиптическом преобразовании окружности первого семейства переходят друг в друга, а окружности второго семейства переходят сами в себя. Следовательно, точки сферы, соответствующие точкам плоскости, перемещаются с меридиана на меридиан, оставаясь на одних и тех же параллелях. Это преобразование сферы в самоё себя может быть получено путём поворота её как одного целого вокруг рассматриваемого диаметра. В самом деле, углы между меридианами в силу свойства стереографической проекции, указанного в § 4 гл. I, равны углам между соответствующими окружностями первого семейства, но угол между любой из этих окружностей и полученной из неё линейным преобразованием, в силу конформности, один и тот же и равен а. Поэтому и угол между любым меридианом и полученным из него после преобразования также равен а. А это и значит, что преобразование сферы, соответствующее, в силу стереографической проекции, эллиптическому преобразованию, сводится к повороту сферы около диаметра на угол а.