Эмпирическая функция распределения

Пусть известно статистическое распределение частот количественного признака X. Введем обозначения: п_х — число наблюдений, при которых наблюдалось значение признака, меньшее х; п — общее число наблюдений (объем выборки). Ясно, что относительная частота события X < х равна п_х/п. Если х изменяется, то, вообще говоря, изменяется и относительная частота, т. е. относительная частота п_х /п есть функция от х. Так как эта функция находится эмпирическим (опытным) путем, то ее называют эмпирической.

Эмпирической функцией распределения (функцией распределения выборки) называют функцию F*{x), определяющую для каждого значения х относительную частоту события X < х.

Итак, по определению,.

где п_х — число вариант, меньшихх; п — объем выборки.

Таким образом, для того чтобы найти, например, Д*(х₂), надо число вариант, меньших х₂, разделить на объем выборки:

В отличие от эмпирической функции распределения выборки функцию распределения F (x) генеральной совокупности называют теоретической функцией распределения. Различие между эмпирической и теоретической функциями состоит в том, что теоретическая функция /'(.г) определяет вероятность события X < х, а эмпирическая функция F*(x) определяет относительную частоту этого же события. Из теоремы Бернулли следует, что относительная частота события X < х, т. е. F*(x), стремится по вероятности к вероятности F (x) этого события. Другими словами, при больших п числа F*(x) и F (x) мало отличаются одно от другого в том смысле, что lim РГ|Д (х) — Т*(х)| 0). Уже отсюда следует целесо;

П—>°° ^{L J}

образность использования эмпирической функции распределения выборки для приближенного представления теоретической (интегральной) функции распределения генеральной совокупности.

Такое заключение подтверждается и тем, что F*(x) обладает всеми свойствами F (x). Действительно, из определения функции F*(x) вытекают следующие ее свойства:

• 1) значения эмпирической функции принадлежат отрезку [0,1];
• 2) F*(x) — неубывающая функция;
• 3) если х, — наименьшая варианта, то F*(x) = 0 при х^х^ если х_к — наибольшая варианта, то F*(x) = 1 прих>х,_;.

Итак, эмпирическая функция распределения выборки служит для оценки теоретической функции распределения генеральной совокупности.

Пример. Построить эмпирическую функцию по данному распределению выборки:

варианты х. 2 6 10.

частоты YI 12 18 30.

I

Решение. Найдем объем выборки: 12 + 18 + 30 = 60. Наименьшая варианта равна 2, следовательно,.

Значение Х< 6, а именно х, = 2, наблюдалось 12 раз, следовательно,.

Значения Х< 10, а именно х_{ = 2 и х₂ = 6, наблюдалось 12 + 18 = 30 раз, следовательно,.

Рис. 19.

Так как. г= 10 — наибольшая варианта, то

Искомая эмпирическая функция.

График этой функции изображен на рис. 19.