Теорема вращения. 
Введение в теорию функций комплексного переменного

Из установленного в п. 5 неравенства:

где f (z) — нормированная голоморфная и бднолистная функция в единичном круге г< 1, получаем:

Заметив, как это было уже отмечено в п. 5, что мы найдём: потому что

Таким образом, мы имеем:

Производя интегрирование относительно z, получим теорему вращения:

Это предложение представляет собою естественное дополнение к теореме искажения, гак как оно регулирует изменение направлений при однолистном отображении.

Общая граница для модулей коэффициентов в разложении однолистной функции.

Возвратимся снова к функции f{z), голоморфной и однолистной в единичном круге |г|<1, предполагая её нормирванной посредс гвом условий: /(0) = 0, f (0) = 1:

При любом г (г< 1) имеем: и, значит,.

9

где положено г=р². Далее имеем:

Полагая F © =V / (С²), С = pety = }f^{r е}^> перепишем (18) в виде:

Пусть теперь

Тогда (19) можно представить так:

Подинтегральная функция в последнем интеграле, очевидно, равна площади области, получающейся в отображении круга |?|^р с помощью функции F (О, делённой на гр (п. 1). Заметив же, что площадь этой области заведомо не превосходит площади круга радиуса, равного максимуму |^(С)| для круга | С | ^ р, получаем:

Так как /⁷© = V /(С²) и по теореме п. 6 l/(C²)K,_f то.

(I — Р*г

После этого неравенство (20) запишется так:

или в силу равенству р=Уг:

Так как г —любое число, меньшее единицы, то, полагая в частности получим:

потому что при любом п (п^ 2).

Полученное неравенство | а_п | < еп показывает, что модуль каждого коэффициента в разложении однолистной функции имеет постоянную верхнюю границу, не зависящую от вида функции, при условии её нормирования в начале координат.

Еще не доказано, хотя имеются все основания предполагать, что а_п п>

так что и здесь границы достигаются функцией jy-—^пгП— & этом л—1.

направлении, кроме результата п. 3, установлено, что | а_п | ^ и, если вес коэффициенты — действительные числа.