Учить думать, а не нажимать на кнопки

Как восклицал Декарт, «я мыслю, следовательно, существую». В. И. Арнольд отмечает, что современному преподаванию вредят излишняя формализация и американизация. Формализация в обучении заключается в акценте на изучение, прежде всего, формальных свойств объектов и операций над ними. Так, на вопрос «Чему равно 2 -I- 3?» западные ученики обычно отвечают: «2 + 3 = 3 + 2», а не «2 + 3 = 5». Они, как правило, очень плохо считают (а зачем, когда есть калькулятор и компьютер). Американизация означает, что учить следует только тому, что нужно для практики и компьютеризации. Погоня за практикой («паровозная математика») гибельна для науки. В школе вредна также сплошная алгебраизация арифметических задач, поскольку она не учит мыслить. Необходимо будить мысль учащегося, по возможности следуя по пути научного открытия, двигаясь от конкретного и интуитивного к общему и абстрактному.

Первичность интуитивного подхода

Обратимся к статье Мориса Клайна «Логика против педагогики» [257]. Клайн понимает интуитивный подход в преподавании как некий непосредственный охват идеи, понятия или доказательства. В основе интуиции, по-видимому, лежат чувства. Поэтому полезными оказываются наглядные изображения и эвристические соображения (например, 3 + 4 = 4 + 3 влечет а + b = Ъ + а). Феликс Клейн замечает: «Для меня непостижимо, как можно проследить геометрическое доказательство чисто логически, не имея перед собой чертеж». Логика рассуждает и критикует, а интуиция открывает. По Адамару, «логика просто освещает завоевания интуиции».

Клайн уверен, что доказательство должно лишь убедить ученика. Не учитель должен быть удовлетворен, а ученик. Не существует строгих окончательных доказательств. Разумная педагогика требует идти на компромисс. «Математика столь же совершенна, как и человек, а люди несовершенны» (Пуанкаре). Имеет глубокий смысл приведенное выше психолого-педагогическое наблюдение А. Уайтхеда о важной роли операционных навыков и экономии мышления.

Стремление к красоте

«Сеять разумное, доброе, вечное» — профессиональный девиз учительства, напоминающий клятву Гиппократа у врачей. Разумное — это истина, доброе — этика, вечное — красота. Истина, Добро и Красота образуют триаду, «правящую миром». Первенство в этой триаде, на наш взгляд, принадлежит Красоте. В конечном счете, истинное, в том числе логическое, входит в понимание эстетического. В принципе истина эстетически привлекательна, ложь противна. Красота выше, обширнее и глубже истины. В то же самое время красота наглядна и интуитивно осязаема. Этические категории добра и зла, соответствующие понятиям истины и лжи, могут трактоваться как проявления красоты и антикрасоты.

Красота, целесообразность, совершенство, гармония — почти синонимы. В математике категория прекрасного, красота воплощаются в понятиях и идеях, методах и доказательствах, конструкциях и теориях. Согласно принципу эстетического отбора выживают, остаются, входят в математическую классику только целесообразные и совершенные понятия. Все второстепенное со временем отмирает. Фундаментальные понятия, оригинальные идеи, универсальные методы, нестандартные подходы, совершенные теории — это красиво! Разумное обобщение часто приводит к упрощению, что также привлекательно и эффективно. Вспомним теорему Гильберта о базисе, с которой некоторые алгебраисты связывают возникновение абстрактной алгебры, или теорему о дефекте и ранге линейного отображения, из которой легко выводится ряд важных результатов линейной алгебры. (См. § 19.).

Излагаемое математическое знание должно быть эстетически оформлено, преподноситься учащимся логически последовательно, системно, доказательно и привлекательно. От метаязыка, на котором излагается математика, требуется образность и четкость, отсутствие двусмысленности. Весьма желательно, чтобы математические термины и обозначения отражали содержание материала. Каждый преподаватель математики в своей учебно-методической работе обязан искать меру между интуитивным и абстрактным, индуктивным и дедуктивным, анализом и синтезом, логикой и педагогикой.

Литература: [8, 27, 28, 145—147, 150, 161, 170—172, 176—178, 188, 189, 196, 201, 205, 208, 209, 216, 225, 226, 257, 266—268, 277, 285, 293, 315, 316, 338, 344, 351—355, 358, 368—370, 376, 392, 395, 398, 399, 402, 420, 430, 439, 440, 460—464, 479—481, 486, 487, 500, 505, 507, 520—522, 536—538, 568, 576, 577, 586—588, 626, 633].