Характеристики положения случайной величины

На практике в теории вероятностей применяют характеристики положения случайных величин, отражающие те или другие особенности распределения.

Модой Мо (Х) случайной величины X называется ее наиболее вероятное значение (для которого вероятность p_t или плотность вероятности р (х) достигает максимума).

Если вероятность или плотность вероятности достигает максимума в одной точке, распределение называется унимодальным, если же максимум достигается в нескольких точках, распределение называется полимодальным (рис. 4.5).

Рис. 4.5. Мода распределения СВ

Медианой Ме (Х) случайной величины X называется такое ее значение, при котором вероятность того, что СВ X Me, и будет равна 0,5.

Гсомстричсски медиана — это абсцисса точки, в которой площадь, ограниченная кривой распределения, делится пополам (функция распределения равна 0,5, рис. 4.6).

Рис. 4.6. Медиана распределения СВ

Квантилью уровня q (или q-квантилью) называется такое значение х_п случайной величины, при котором функция ее распределения ч

принимает значение, равное q, то есть

Некоторые квантили получили особое название. Очевидно, что определенная выше медиана случайной величины есть квантиль уровня 0,5, то сеть Ме[Х)-х₀₅. Квантили х₀₂₅ и х₀₇₅ получили название.

нижней и верхней квартилей соответственно.

С понятием квантиля тесно связано понятие процентной точки. Под 100qVo-й точкой подразумевается квантиль x_x__q, то есть такое значение случайной величины X, при котором р (^Х > Х|__?) = q.

ПРИМЕР 6. Найти моду, медиану, квантиль х_{0 3} и 30%-ю точку СВ X с плотностью вероятности ^(х) = 3х² при хе[0; 1].

РЕШЕНИЕ. Для нахождения моды распределения необходимо найти максимум плотности (экстремум функции ^(х) = 3х²). Однако эта функция возрастает на заданном интервале, следовательно, максимум достигается при х = Мо (Х=.

Для нахождения медианы воспользуемся формулой (4.14):

Отсюда Me = 3Jl2 «0,79. По формуле (4.10) получим функцию распределения.

Учитывая (4.15), найдем квантиль х_{0 3} => Xq ₃ = 0,3, откуда x₀3"0,67. 30%-ю точку случайной величины X или квантиль х₀₇

найдем из уравнения х^ ₇ = 0,7, откуда х_{0 7} «0,89.