Анализ классификаций марковских процессов

Классификация марковских процессов (МП) для технических применений доходчиво излагается на основе классификации СП¹, изложение которой мы дадим, следуя в основном Е. С. Вентцель и Л. А. Овчарову^[1][2] с некоторыми нашими дополнениями. Согласно теории СП принято классифицировать процессы по различным признакам: с учетом плавности или скачкообразности их реализации, фиксированное™ или случайности моментов, в которые могут происходить скачки, вида закона распределения отдельного сечения процесса или совокупности его сечений и т. д. Элементарная классификация случайных процессов — по времени и по состояниям — приведена в гл. 2.

Примечание. Математическая неэлемеитарная фундаментальная классификация марковских процессов, признанная мировым сообществом математиков, блестяще изложена в работах Колмогорова и годится для профсссионалов-математиков, имеющих подготовку в области абстрактной или общей алгебры и теории чисел в объеме книг таких авторов, как А. Г. Курош, Э. Фрид, Б. Л. Ван-дер Варден, Н. Бурбаки.

Все случайные процессы с качественными состояниями относятся к категории процессов с дискретными состояниями; сечение каждого такого процесса представляет собой случайное событие, т. е. аналог дискретной случайной величины (см. гл. 2).

Таким образом, в зависимости от особенностей множества Т значений аргумента ?, в которые возможны переходы системы из одного состояния в другое состояние, а также множества 0 самих состояний, все случайные и соответствующие им марковские процессы могут быть разделены на четыре класса или шесть видов:

• 1) процессы с дискретными состояниями и дискретным временем (цепь Маркова) 6(т_л);
• 2) процессы с дискретными состояниями и непрерывным временем (дискретный (разрывный — скачкообразный марковский процесс) 0(Тд);
• 3) процессы с непрерывными состояниями и дискретным временем (марковская последовательность) А (т_л);
• 4) процессы с непрерывными состояниями и непрерывным временем (непрерывный (непрерывно-значный) марковский процесс) Я (Тд);
• 5) Тихонов и Миронов^[3] вводят дополнительно пятый СП и соответствующий ему марковский процесс — дискретно-непрерывный процесс (дискретные или непрерывные скачки в интервалах времени чередуются по типу) 0(т_л)Х (т_д);
• 6) также они вводят смешанный случайный (марковский) процесс,

когда надежность изделия определяется несколькими параметрами, ведущими себя как марковские процессы разных видов: 0(т_Г1)0(т_ф), Л (тг₁)0(т_ф), Mtc)0(t_o)…

Приведем примеры процессов разных классов (видов).

• 1. Некто сделал т ставок на ипподроме, которые могут выигрывать, а могут и не выигрывать в заранее известные моменты времени t_x, t₂, … • Случайный процесс X (t) — число ставок, выигравших до момента Т.
• 2. Техническое устройство состоит из п узлов, которые могут в ходе работы устройства отказывать (выходить из строя). Случайный процесс X (t) — число узлов, отказавших до момента времени t.
• 3. Техническое устройство может под действием случайных факторов находиться в одном из следующих состояний: s_{ — работает исправно; s₂ — работает с перебоями; s₃ — остановлено, ведется поиск неисправности; s₄ — ремонтируется; s₅ — окончательно вышло из строя, списано. Как и для каждого процесса с качественными состояниями, сечение такого процесса представляет собой обобщенную случайную величину дискретного типа, возможные значения которой описываются не численно, а словесно.
• 4. В определенные моменты времени t_lt t₂,… регистрируются температура воздуха О (Г) и влажность в заданной точке пространства. Последовательности значений этих величин — случайные процессы 0(f) с непрерывными состояниями и дискретным временем.
• 5. Процесс изменения напряжения {/(f) в электросети питания компьютерной сети лаборатории представляет собой случайный процесс с непрерывными состояниями и непрерывным временем.

Примечания. 1. Для классов 1 —5 случайных процессов разработаны различные методы их изучения и описания, детально и доступно изложенные для инженеров в книге Е. С. Вентцель и Л. А. Овчарова [7].

2. Для желающих заняться марковскими процессами мы рекомендуем прочитать книгу И. И. Гихмана, А. В. Скорохода [11]. Книга полностью посвящена теории этих процессов за исключением процессов диффузии, рассмотренных в т. 3 указанными авторами — профессиональными математиками.

• [1] См.: Тихонов В. И., Миронов М. А. Указ. соч. С. 7, 8, 12.
• [2] См.: Вентцель Е. С., Овчаров JI. А. Теория случайных процессов и ее инженерные применения. М.: Высшая школа, 2000. С. 18—20.
• [3] См.: Тихонов В. И., Миронов М. А. Указ. соч.