Линейная часть неустойчива
Рис. 5.4. Преобразование структурной схемы с неустойчивой линейной частью: а — исходная схема; б — преобразованная схема дующим образом. Охватим линейную часть отрицательной обратной связью звеном с передаточной функцией г, а к нелинейному звену подключим параллельно звено также с передаточной функцией г, выход которого подключен к сумматору по отрицательному входу (рис. 5.4, б). Преобразованная… Читать ещё >
Линейная часть неустойчива (реферат, курсовая, диплом, контрольная)
Пусть линейная часть нелинейной системы (рис. 5.4, а) неустойчива. Преобразуем ее сле;
Рис. 5.4. Преобразование структурной схемы с неустойчивой линейной частью: а — исходная схема; б — преобразованная схема дующим образом. Охватим линейную часть отрицательной обратной связью звеном с передаточной функцией г, а к нелинейному звену подключим параллельно звено также с передаточной функцией г, выход которого подключен к сумматору по отрицательному входу (рис. 5.4, б). Преобразованная схема эквивалентна исходной схеме. Действительно, учитывая, что д = 0, на входе линейного звена преобразованной схемы имеем
т. е. тот же сигнал, что и на входе линейного звена исходной схемы.
В преобразованной схеме передаточная функция линейной части имеет вид
а нелинейность выражается равенством.
(см. рис. 5.4,6). Так как при f #0 имеем /п(?)/? =/(0/?"г> 70 неравенство г ^ /(?)/? ^ & равносильно неравенству 0 ^ /п(О/? ^ ^ к — г. Поэтому положение равновесия исходной системы (см. рис. 5.4, а) абсолютно устойчиво в угле [г, /с], если положение равновесия преобразованной системы (см. рис. 5.4, б) абсолютно устойчиво в угле [0, к -г г].
Пусть преобразованная линейная часть устойчива, т. е. все полюса передаточной функции Wn имеют отрицательные вещественные части. Тогда по теореме Попова положение равновесия преобразованной системы абсолютно устойчиво в угле [0, Л: — г], если выполняются неравенства или где ип{ш) = ReWn(ju) и V"(w) = ImWn(ju).
Из изложенного выше получаем следующий критерий абсолютной устойчивости в случае неустойчивой линейной части.
Положение равновесия нелинейной системы (5.3) с неустойчивой линейной частью абсолютно устойчиво в угле [г, А:], если все полюса преобразованной передаточной функции Wn = Wn/(+rVn) имеют отрицательные вещественные части и существует такое вещественное число , что при всех и ^ 0 выполняется неравенство (5.8).
Пример 5.4. Пусть передаточная функция линейной части имеет вид Wn = 10/(р — 1). Исследовать, является ли система (см. рис. 5.3, б) абсолютно устойчивой в угле [0,2; 200].
Решение. Преобразованная передаточная функция имеет вид Wn = ИУ (1 + rWn) — 10/(р 4−1). Отсюда для частотной передаточФункцию Wnu(joj) будем называть модифицированной преобразованной частотной передаточной функцией, а ее годограф при изменении 0 ^ lj < оо — модифицированной преобразованной частотной характеристикой. Используя вещественную и мнимую части функции Wnu(jw), условие (5.8) можно записать в виде
и оно выполняется при любом q ^ 0. Следовательно, рассматриваемая система абсолютно устойчива в угле [0,2; 200].
Как и в случае с устойчивой линейной частью, можно сформулировать частотный вариант критерия устойчивости. Для этого введем следующие частотные функции:
ной функции, а также для вещественной и мнимой частотных функций имеем.
Условие (5.8) принимает вид.
В случае неустойчивой линейной части прямая Попова — эта прямая, которая пересекает вещественную ось в точке — 1 /{к —г) и имеет наклон l/q.
Положение равновесия нелинейной системы (5.3) с неустойчивой линейной частью абсолютно устойчиво в угле [г, /г], если можно провести такую прямую Попова, что модифицированная преобразованная частотная характеристика полностью располагается правее этой прямой.