Основные понятия линии уравнений и неравенств

О трактовке понятии уравнения

Понятие уравнения относится к важнейшим математическим понятиям. Именно поэтому трудно дать его определение, одновременно и строгое с формальной точки зрения, и доступное для учащихся, которые приступают к овладению школьным курсом алгебры. Приведем примеры некоторых определений.

Опр. 1 (логико-математическое определение уравнения). Пусть на множестве М зафиксирован набор алгебраических операций, * - переменная на М тогда уравнением на множестве М относительно х называется предикат (т. е. предложение с переменной) вида а (л) = b (х), где а (л:) и b (.г) — термы (выражения) относительно заданных операций, в запись которых входит символ Аналогично определяется уравнение от двух переменных и т. д.

Опр. 2. Предложение с переменной, имеющее вид равенства между двумя выражениями с этой переменной, называется уравнением (Н. Я. Виленкин, 2012).

Анализируя приведенное математическое определение уравнения можно выделить в нём два компонента', первый компонент (уравнение — это предикат) — смысловой, он важен для уяснения понятия корня уравнения. Второй компонент — шоковый (уравнение — это равенство, соединяющее два терма) — относится к формальным особенностям записи, изображающей уравнение. Он важен, когда запись уравнения подвергается различным преобразованиям: часто такие преобразования производятся чисто механически: без обращения к их смыслу.

Опр. 3. Равенство с переменной называется уравнением. Значение переменной, при котором равенство с переменной обращается в верное числовое равенство, называется корнем уравнения (А. Н. Колмогоров, 1975).

В учебнике Ю. М. Колягина и др. «Алгебра. 7 класс» (М., 2012) понятие уравнения вводится на материале текстовой задачи, которую мы рассмотрим позже. После её решения формулируется определение.

Опр. 4. Равенство, содержащее неизвестное число, обозначенное буквой, называется уравнением.

Здесь же вводятся понятия левой и правой частей уравнения и его корня. Корнем уравнения называется то значение неизвестного, при котором это уравнение обращается в верное равенство.

Этот способ введения соответствует ещё одному компоненту понятия уравнения — прикладному.

Помимо выделенных компонентов понятия уравнения (смыслового, знакового, прикладного) в школьной математике большую роль играет компонент, при котором уравнение трактуется как равенство двух функции. Его роль проявляется в изучении графического метода решения уравнений. Однако в большинстве действующих учебниках алгебры этот компонент нс кладется в основу определения уравнения.

Опр. 5. Буквенное равенство, которое не обязательно превращается в верное численное равенство при допустимых наборах букв, называется уравнением (Д. К. Фаддеев, 1983).

В основу этого определения положено противопоставление тождества и уравнения.

Таким образом, при освоении понятия уравнения необходимо использовать термины «уравнение», «корень уравнения», «что значит решить уравнение».

В определении понятия уравнения используется один из двух терминов: «переменная» или «неизвестное». Различие между ними состоит в том, что переменная пробегает ряд значений, нс выделяя ни одного из них специально, а неизвестное представляет собой буквенное обозначение конкретного числа (поэтому этим термином удобно пользоваться при составлении уравнений по текстовым задачам). Вопрос о выборе одного из них в школьной практике в настоящее время окончательно ещё не решён.

Выбор одного из них влечет за собой различия в нахождении корней уравнения. Так, с термином «переменная» связана операция подстановки числа вместо буквы, поэтому в уравнение а (х) = b (л) можно подставлять вместо х конкретные числа и находить среди них корни. Термин же «неизвестное» обозначает фиксированное число; подставлять число на место буквы, обозначающей неизвестное, поэтому нелогично. Нахождение корней уравнения а (л) = b (л;) с этой точки зрения должно осуществляться с помощью действий, при которых это равенство рассматривают как верное и пытаются привести его к виду х = до, где хо — числовое выражение.

Мы будем в дальнейшем пользоваться термином неизвестное, который ближе с прикладной направленностью линии уравнений и неравенств.