Упорядоченное полукольцо натуральных чисел

Связь между операциями +, • и отношением <

2.6.1. Предложение. Сложение и умножение натуральных чисел монотонны, то есть для любых a, b, c€ N если, а <�Ь, то, а + с<�Ь + с и, а с<�Ь с.

Доказательство. Из условия а < b следует, что Ь = а + к при некотором keN. Тогда Ь+с = а + к+с и Ьс = (а + к) с = ас + кс, откуда а + с<�Ь + сиас<�Ьс. ?

Рассматривая систему (N, +, *, <), приходим к следующему общему понятию.

2.6.2. Определение. Система {К, +, •, <) с основным множеством.

К, бинарными операциями сложения + и умножения • и бинарным отношением < называется упорядоченным полукольцом,.

если выполнены следующие условия:

• 1) (К, +, •> - полукольцо, содержащее более одного элемента.
• 2) (К,<) — линейно упорядоченное множество.
• 3) Операции сложения и умножения монотонны: для любых

a, b, CG К, если а < b, то а+с < b+с (.монотонность сложения)

несли а<�Ь, с<�с + с, то а-с<�Ьс и с а<�с-Ь (.монотонность умножения).

2.6.3. Определение. Система {N, +,-,<) называется.

упорядоченным полукольцом натуральных чисел.

2.6.4. Определение. Пусть дано полукольцо <К, +, •>. Элемент ОеАГ называется нулем (а элемент esK называется единицей), если для любого а е К, а + 0 = 0 + а = а (соответственно, а е = е • а = а).

Очевидно, (упорядоченное) полукольцо натуральных чисел не содержит нуля, но содержит единицу.

Заметим также, что если упорядоченное полукольцо содержит нуль 0, то условие с <�с+с эквивалентно условию с > 0.

Основные свойства упорядоченного полукольца натуральных чисел.

2.6.5. Предложение. В упорядоченном полукольце натуральных чисел неравенства одинакового смысла можно почленно складывать и перемножать.

Доказательство. Докажем, что если a, c то a + c Из условия а<�Ь следует а + с<�Ь + с, а из cполучаем b + c Отсюда, пользуясь транзитивностью отношения <, заключаем, что a + c Возможность умножения неравенств доказывается аналогично. ?

2.6.6. Предложение. Сложение и умножение натуральных чисел обладают свойствами сократимости, то есть для любых a, b, ceN если, а + с = Ь + с или, а с = Ь с, то, а = Ь.

Доказательство. Если предположить, что а фЬ, то по свойству трихотомии либо а < Ь, либо b < а. Но если, например, а < Ь, то по свойству монотонности сложения и умножения получаем а + с<�Ь + с и ас<�Ьс, что противоречит условию. ?

2.6.7. Предложение. В упорядоченном полукольце натуральных чисел выполняется аксиома Архимеда: для любых a, b е N существует натуральное число п такое, что па > nb.

Доказательство. Так как 1 <�а и b1, то по 2.6.5 b < (b +1) • а, откуда при п = п +1 получаем па >nb. ?

Несложно доказывается следующая общая теорема.

• 2.6.8. Теорема. Пусть дано упорядоченное полукольцо (К, +, *, <) и a, b, c, dеК.
• 1) Если, а <�Ь, с, то а+с, то a+c
• 2) Если 0 — нуль в К и 0<�а <�Ь, 0

и если 0<�а<�Ь, 0

Упражнения

• 1. Докажите, что в упорядоченном полукольце (К, +,•><) с нулем 0 для любых а, Ь, с е К:
• 1) если а + с <�Ь +с, то, а <�Ь;
• 2) если а с <�Ь с и 0 < с, то а < Ь;
• 3) сложение и умножение обладают свойствами сократимости: если а + с = Ь+с, то а = Ь, и если а-с = b-с и с*0,то а = Ь.
• 2. Докажите, что для любых a, b, c е N ab + bc + ca < а² +Л² +с².
• 3. Существует ли конечное упорядоченное полукольцо?
• 4. Пусть дано упорядоченное полукольцо натуральных чисел (N, +,-,<) и на множестве 7V определено отношение < так, что система <�з 1 + 1, то отношения < и < совпадают.
• 5. Пусть отношение <�э на N является отношением линейного порядка, причем сложение натуральных чисел монотонно относительно этого отношения. Докажите, что если п < и' для любого // е N, то отношения < и < совпадают.
• 6. Верно ли, что в произвольном упорядоченном полукольце (К, +,-, для любых а, Ь е К имеет место а < b тогда и только тогда, когда существует элемент к еК такой, что b = а + к ?
• 7. Посгройте упорядоченное полукольцо с основным множеством N х N.