Расход жидкости. 
Гидравлика

Найдем расход жидкости, протекающей через данное сечение ламинарного потока. Выделим в потоке элементарное кольцо, ограниченное радиусами r и r + dr (рис. 6.9).

Рис. 6.9. Схема к выводу формулы для расхода жидкости.

Элементарный расход составит.

Полный расход будет.

(6.6).

Подставляя выражение (6.5) в формулу (6.6), получаем.

Вычисляя интеграл, будем иметь.

(6.7).

Найдем среднюю по сечению скорость:

(6.8).

Отношение средней скорости к максимальной будет.

откуда.

Выведем формулы для гидравлического уклона .

Из уравнения для расхода (6.7), учитывая, что , получаем.

Отсюда.

(6.9).

Так как.

и ,.

то.

(6.10).

Формулы (6.9) и (6.10) называются формулами Гагена — Пуазейля.

Из формулы (6.9) очевидно, что при одном и том же расходе гидравлический уклон обратно пропорционален диаметру в 4-й степени. Из формулы (6.10) следует, что гидравлический уклон прямо пропорционален средней скорости

Коэффициент линейных потерь при ламинарном движении жидкости

Зная закон распределения скорости в поперечном сечении, можно вывести теоретические формулы для определения расхода жидкости, потери напора на трение, а также коэффициента линейных потерь при ламинарном режиме течения.

Средняя по сечению скорость согласно формуле (6.8) равна.

Учитывая, что и , получаем.

Отсюда.

, или

После некоторых преобразований найдем.

Отсюда получим.

Сравнивая с формулой Дарси — Вейсбаха.

находим.

Последнее соотношение представляет формулу Пуазейля для определения коэффициента трения (коэффициента линейных потерь).

Логарифмируя формулу Пуазейля, получаем.

Из последнего соотношения следует, что зависимость от Re будет выражаться в логарифмических координатах прямой линией с углом наклона к оси абсцисс, равным 45° (рис. 6.10).

Рис. 6.10. График зависимости коэффициента гидравлического сопротивления от числа Рейнольдса.

Многочисленные эксперименты полностью подтверждают правильность полученных теоретических выводов для ламинарного изотермического потока. Тем самым подтверждается и правильность закона Ньютона для внутреннего трения, положенного в основу этих выводов. При Re? 2320, т. е. при турбулентном режиме, формула Пуазейля неприменима.

Основы гидродинамической теории смазки

Создателем гидродинамической теории смазки является профессор Н. П. Петров. До него считали, что в подшипниках скольжения происходит трение одного тела (вала) о другое (вкладыш).

Н. П. Петров показал, что при вращении вал увлекает за собой смазочную жидкость, направляя ее в зазор между валом и вкладышем в нижней части (рис. 6.11, а). От этого давление в зазоре между валом и вкладышем возрастает. Образуется своего рода масляный клин, вытесняющий вал вверх и влево (рис. 6.11, б). При увеличении числа оборотов п вал «всплывает». Таким образом, трения вала о вкладыш не происходит — сухое трение заменяется жидкостным. При увеличении числа оборотов вал стремится встать в центре отверстия во вкладыше (центр вала О1 совпадает с центром подшипника О — рис. 6.11, в).

Рис. 6.11. Схема к выводу формулы Петрова.

Вывод формулы Петрова для силы трения основывается на следующем. При одинаковой толщине слоя смазки

где и — окружная скорость.

При радиусе вата r и длине вкладыша l (рис. 6.11, г) полная поверхность, по которой происходит трение:

Тогда сила трения будет.

Так как.

то.

Отсюда.

Учитывая, что.

где  — угловая скорость; п — число оборотов вала, получаем.

Так как слой смазки неодинаков по толщине, то всегда имеет место эксцентриситет е, учитываемый поправочным коэффициентом

Окончательно формула Петрова принимает вид.