Принцип Даламбера. 
Принципы статики, кинематики, динамики

Важнейшим из принципов механики является принцип Даламбера. С принципом Даламбера тесно связан метод кинетостатики — способ решения задач динамики, в котором динамические уравнения записываются в форме уравнений равновесия. Метод кинетостатики широко применяется в таких общеинженерных дисциплинах, как сопротивление материалов, теория механизмов и машин, в других областях прикладной механики. Принцип Даламбера результативно используется и внутри самой теоретической механики, где с его помощью созданы эффективные способы решения задач динамики.

Принцип Даламбера для материальной точки.

Пусть материальная точка массы m совершает несвободное движение относительно инерциальной системы координат Oxyz под действием активной силы Fa и реакции связи R (рис. 17).

Рис. 17.

Определим вектор численно равный произведению массы точки на ее ускорение и направленный противоположно вектору ускорения. Вектор Fu имеет размерность силы и называется силой инерции (даламберовой) материальной точки.

Принцип Даламбера для материальной точки сводится к следующему утверждению: если к силам, действующим на материальную точку, условно присоединить силу инерции точки, то получим уравновешенную систему сил, т. е.

Вспоминая из статики условие равновесия сходящихся сил, принцип Даламбера можем записать также в следующей форме:

Легко видеть, что принцип Даламбера эквивалентен основному уравнению динамики, и, наоборот, из основного уравнения динамики следует принцип Даламбера. Действительно, перенося в последнем равенстве вектор Fu в другую часть равенства иFu заменяя на ma, получаем основное уравнение динамики. Наоборот, перенося в основном уравнении динамики член та в одну сторону с силами и используя обозначениеma= Fu, получаем запись принципа Даламбера.

Принцип Даламбера для материальной точки, будучи вполне эквивалентным основному закону динамики, выражает этот закон в совершенно иной форме — в форме уравнения статики. Это дает возможность пользоваться при составлении уравнений динамики методами статики, что и называется методом кинетостатики.

Метод кинетостатики особенно удобен при решении первой задачи динамики.

Пример. Из наивысшей точки гладкого сферического купола радиуса R соскальзывает материальная точка М массы m с пренебрежимо малой начальной скоростью (рис. 18). Определить, в каком месте точка сойдет с купола.

Рис. 18.

Решение. Точка будет двигаться по дуге некоторого меридиана L. Пусть в некоторый (текущий) момент радиус ОМ составляет с вертикалью угол. Раскладывая ускорение точки, а на касательное ()и нормальное представим силу инерции точки также в виде суммы двух составляющих:

Касательная составляющая силы инерции имеет модуль =mdv/dt и направлена противоположно касательному ускорению, нормальная составляющая — модуль m/R и направлена противоположно нормальному ускорению.

Добавляя эти силы к фактически действующим на точку активной силе mg и реакции купола N, составляем уравнение кинетостатики.

Проектируя это векторное уравнение на направления касательной и главной нормали, получаем два уравнения кинетостатики в скалярной форме:

Из второго уравнения находим.

Реакция N окончательно найдется после того, как будет определена величина v и подставлена в это выражение.

Для определения v служит первое уравнение, которое является дифференциальным уравнением и требует интегрирования. Однако можно избежать интегрирования, если воспользоваться теоремой об изменении кинетической энергии. Применяя эту теорему для точки М на участке траектории и учитывая, что T=m/2, =m/2=0, A=mgR (1-cos) (работу совершает только сила тяжести), получаем:

Отсюда находим.

и далее.

В момент отделения от купола реакция N равна нулю. Следовательно, точка сойдет с купола при.