Случайные величины. 
Элементы высшей математики

Определение случайной величины

Рассмотрим случайный эксперимент, которому сопоставляется пространство элементарных событий — возможных исходов этого эксперимента. На этом пространстве элементарных событий задана случайная величина X, если задан закон или правило, по которому каждому элементарному событию сопоставляется число. Таким образом, случайную величину Х можно рассматривать как функцию, заданную на пространстве элементарных событий (рис. 5.2).

Рис. 5.2 Определение случайной величины

Случайная величина может принимать значения из некоторого числового множества, однако заранее неизвестно, какое именно. Случайные величины принято обозначать прописными буквами (Х, У и т. д.), а принимаемые ими значения — строчными (х, у,…).

Например, при бросании игральной кости случайная величина сопоставляет каждой грани этой кости числа 1, 2, 3, 4, 5 и 6. Температура тела является случайной величиной и сопоставляет состоянию организма человека определенные значения, измеряемые градусником.

Непрерывные и дискретные случайные величины

Если случайная величина Х принимает только дискретные значения, т. е. значения x₁, x₂,…, x_n,…, то такая случайная величина называется дискретной.

Если же значения случайной величины Х занимают некоторый отрезок (с, d), то она называется непрерывной.

Соотношение, которое устанавливает связь между возможными значениями случайной величины Х и вероятностями их появления при испытаниях, называется законом распределения случайной величины.

Каждому значению дискретной случайной величины x_n отвечает вероятность р_п. Тогда закон распределения дискретной случайной величины обычно задается рядом распределения:

При этом p1 + p2 + p3 +… pn = 1.

Пусть непрерывная случайная величина Х принимает значения на отрезке (c, d). Тогда говорят о вероятности Р (а < Х < b) ее попадания на промежуток (а, b), который принадлежит отрезку (с, ^d).

Закон распределения непрерывной случайной величины удобно задавать при помощи так называемой функции плотности вероятности — f (x). В этом случае вероятность Р (а < Х < b) попадания случайной величины Х на промежуток (а, b) определяется равенством:

P (a < X < b) = Jf (x) dx. (5.14).

График функции f (x) называется кривой распределения. Геометрически вероятность попадания случайной величины Х в промежуток (а, b) равна площади криволинейной трапеции, ограниченной кривой распределения y = f (x), осью Ох и прямыми х = а и х = b (рис. 5.3).

Рис. 5.3 Кривая распределения y = f (x)

Функция плотности вероятности f (x) обладает следующими свойствами:

• 1. fx) > 0.
• 2. Jf (x) = 1.

Введем теперь функцию распределения вероятности F (x) = P (X < x). Функция F (x) существует как для дискретных, так и для непрерывных случайных величин.

Для непрерывных случайных величин F (x) связана с функцией плотности вероятности следующим образом:

F (x) = Jf (x) dx. (5.15).

Свойства функции распределения вероятности:

• 1. F (x) — неубывающая функция.
• 2. F (—ro) = 0.
• 3. F (+ro) = 1.

Для непрерывных и дискретных случайных величин функции распределения вероятности имеют вид (рис. 5.4.).

Рис. 5.4 Функция распределения вероятности F (x) для непрерывных и дискретных СВ

ПРИМЕР 1.

1. Случайная величина X имеет закон распределения с плотностью.

f (x) = J.

• 0, если x < 0 а ¦ (2x-x²), при 0 < x < 2
• 0, при x > 2

Требуется:

• А). Найти коэффициент «а» ;
• Б). Построить график распределения плотности у = f (x);
• С). Найти вероятность, что случайная величина Х попадет в промежуток (0,5; 1).

Решение.

А). Согласно свойствам функции плотности вероятности f (x).

J a- (2x — x²)dx = 1.

Проводя интегрирование, получаем:

= а-(4 — -) = 1, откуда, а = ¾.

• Б). График y = f (x) имеет вид:
• В). Вероятность попадания величины Х на интервал (0, 5, 1) равна:

P (0,5 < X < 1) = j¾* (2x-x²)dx = ¾* (x²-x³/3).

ПРИМЕР 2.

Дан ряд распределения дискретной случайной величины:

Построить функцию распределения вероятности этой случайной величины X. Найти вероятность, что случайная величина Х находится в интервале 4 < x < 7, т. е. p (4 < x < 7).

Решение.

Если х <2, то F (x) = Р (Х < х) = 0.

Если 2 < х < 3, то F (x) = P (X < x) = 0,1.

Если 3 < х < 5, то F (x) = 0,1 + 0,2 = 0,3.

Если 5 < х < 6, то F (x) = 0,1 + 0,2 + 0,4 = 0,7.

Если 6 < х 8, то F (x) = 0,9 + 0,1 = 1.

тогда, p (4 < x < 7) = F (7) — F (4) = 0,9 — 0,3 = 0,6.