Способы задания множеств

Для задания множества используются следующие способы:

1) перечисление элементов множества Запись означает, что множество состоит из элементов .

2) описание общего свойства элементов множества В общем случае это выглядит так:, где — общее свойство элементов множества .

Например,. Очевидно, что элементами множества являются все натуральные числа.

3) процедурный (рекурсивный).

Задается процедура (рекурсивный алгоритм) порождения элементов множества по некоторым, уже имеющимся в нем, элементам:

Пример 2.1.

— множество натуральных чисел.

Операции над множествами

Для наглядности мы будем рассматривать множества в виде некоторых совокупностей точек плоскости, а вводимые операции сопровождать рисунками — так называемыми кругами Эйлера. Результатами операций будут являться заштрихованные области на соответствующих рисунках.

Итак, на множествах можно ввести следующие операции:

1) объединение Объединением или суммой двух множеств и называется множество (), которое состоит из всех элементов, принадлежащих хотя бы одному из этих множеств (Рис. 1).

.

Рис. 1.

2) пересечение Пересечением или произведением двух множеств и называется множество (), которое состоит из всех общих элементов этих множеств (Рис. 2).

.

3) разность Разностью множеств и называется множество (), состоящее из элементов, которые принадлежат множеству, но не принадлежат множеству (Рис. 3.3).

То есть, по определению,.

.

Рис. 3.

4) дополнение Если — универсальное множество, то дополнением множества, А до U называют разность (Рис. 4).

То есть, по определению,.

.

Рис. 4.

5) также часто рассматривают дополнительную операцию, которая называется симметрическая разность.

Симметрической разностью множеств и называется множество элементов, которые принадлежат множеству, но не принадлежат множеству, или принадлежат множеству, но не принадлежат множеству. (Рис. 3.5).

То есть, по определению,.

.

Рис. 5.

математический множество разность Пример 3.1.

1) Пусть, , тогда.

, ,, .

Если взять в качестве универсального множества взять множество действительных чисел, то, а .

2) Пусть, , тогда.

, ,, .

Если взять в качестве универсального множества взять — множество действительных чисел, то.

а .

3) Пусть, , тогда.

, ,, .

Если взять в качестве универсального множества взять, например,.

то.

а .