Регрессионный анализ фондоотдачи

Регрессионный анализ фондоотдачи рассмотрим на следующем примере.

Пример 4.2 [13]

В табл. 4.2 приводятся данные п = 15 цементных заводов страны. На основе линейной регрессионной модели требуется исследовать зависимость у — фондоотдачи в процентах на единицу основных производственных фондов (ОПФ) от Л', — среднечасовой производительности вращающихся печей ш2 — удельного веса активной части ОПФ.

Таблица 4.2

Исходные и расчетные данные

№ п/п.
				26,779.	0,607.
				29.532.	12,026.
				27,616.	13,073.
				40,643.	135,562.
				51,290.	86,309.
				35,350.	128,823.
				56,226.	17,859.
				50,613.	29,016.
				41,160.	229,832.
				48,796.	14,408.
				29,213.	4,896.
				52.385.	2.607.
				30,620.	11,427.
				49,001.	1,002.
				46.719 581.	2,957.
Итого.					690.404.

Решение

Для определения вектора оценок согласно соотношению (4.31) найдем предварительно симметричную матрицу ХТХ, которая имеет вид.

и равна для нашего примера

Вектор XTY имеет вид.

Для нашего примера имеем

Обратная матрица (ХТХ)~1 равна.

Подставив найденный вектор XTY и матрицу (ХтХ)~хъ выражение (4.31), найдем вектор оценок:

Таким образом, и оценка уравнения регрессии имеет вид.

Для проверки значимости уравнения регрессии согласно выражению (4.43) нужно найти

Воспользуемся данными табл. 4.2. Из них следует, что . Тогда несмещенная оценка остаточной дисперсии ст2 равна.

По данным табл. 4.2 найдем

Проверим на уровне значимости, а = 0,05 значимость уравнения регрессии, т. е. гипотезу //0: (3 = 0. Согласно выражению (4.43).

По таблице^{-распределения} для, а = 0,05 и чисел степеней свободы v, = 3 и v2 = 12 найдем критическое значение Ткр (0,05; 3: 12) = 3,49. Так как Тн.^л > FK. p, гипотеза Я 0: (3 = 0 отвергается, т. е. хотя бы один элемент вектора не равен нулю.

Перед проверкой значимости отдельных коэффициентов регрессии найдем оценку ковариационной матрицы (4.39) вектора Ь. Для этого достаточно элементы обратной матрицы (Х^Х)-1 умножить на 52 =57,534. Тогда будем иметь.

Из статистического смысла ковариационной матрицы следует, что оценки дисперсии коэффициентов уравнения регрессии соответственно равны.

Проверим значимость коэффициента (3,. т. е. гипотезу

Согласно статистике (4.44)

По таблице^{-распределения} для значений, а = 0,05 и v2 = 12 гкр = 2,179. Так как 13/4 |т. е. 3, незначим.

.

Проверим теперь гипотезу Н0:$2 = 0. Имеем.

Так как tf. > ГК|) = 2,179, гипотеза //0: Зг = 0 отвергается, т. е. Зг * 0.

Согласно алгоритму пошагового регрессионного анализа исключим из расемотрения переменную лг, имеющую незначимый коэффициент 3i регрессии. Уравнение регрессии будем искать в виде? = 3o+3i*2- Исходные данные для оценки Зо и 3i представлены в табл. 4.3.

Таблица 4.3

Исходные данные

№ п/п (i).
			25.468.	0,283.
			26,884.	37,405.
			19,804.	17,610.
			38,213.	84,874.
			45,293.	10,845.
			29,716.	32,675.
			46,709.	27,992.
			46,709.	86,318.
			41,045.	226,349.
			45,293.	0,0856.
			35,381.	70,233.
			41,045.	167,835.
			31,132.	8,2234.
			43,12 535.	0,157.
			42,461.	6,447.
Итого.				777,192.

Тогда матрица Xт будет иметь вид и.

Обратную матрицу (ХТХ)~1 вычислим по формуле где Д, — алгебраическое дополнение к элементу матрицы (ХТХ).

Найдем определитель матрицы |ХГХ|:

Тогда обратная матрица.

Найдем вектор XTY:

Тогда вектор оценок (4.31) равен.

а оценка уравнения регрессии имеет вид

Из табл. 4.3 найдем несмещенную оценку остаточной дисперсии:

где

Оценка ковариационной матрицы вектора b равна Отсюда

Для проверки значимости коэффициента Р2, т. е. гипотезы //0:Р2 = 0, найдем.

Определим критическое значение для, а = 0,05; v=п — 2 = 13 по таблице: * =2,16. Так как , нулевая гипотеза отвергается (02 * 0). Таким образом, окончательно оценка регрессии со значимыми коэффициентами имеет вид.

Коэффициент регрессии при х2 показывает, что при росте удельного веса активной части на единицу ОПФ (%) фондоотдача в среднем увеличивается на 1,41 609 ед.

Найдем теперь с доверительной вероятностью у = 0,96 интервальную оценку для коэффициента регрессии Р2. Согласно оценке (4.47).

где ty = 2,16. находим по таблице^{распределения} при, а = 1 — у = 0,05 nv = nk- i = = 15 — 2 = 13. Отсюда 1,416−0,703 <0, <1,416 + 0,703, или 0,713<�р, <2,119.

Доверительную границу для условного математического ожидания у найдем с надежностью у = 0,95 в точке, определяемой вектором начальных условий:

Предварительно найдем матричное произведение:

Согласно соотношению (4.48) интервальная оценка для у равна откуда у €[41,045 ±4,642] и окончательно.

Таким образом, с доверительной вероятностью у = 0,95 мы можем гарантировать, что при значении удельный вес активной части ОПФ завода будет находиться в интервале от 36.403 до 45,687%.