Одновременное оценивание регрессионных уравнений. 
Внешне не связанные уравнения

Косвенный метод наименьших квадратов по сути сводится к оцениванию по отдельности уравнений приведенной формы.

При этом, вообще говоря, Cov (vi, v2) * 0. Отсюда следует, что эффективность оценивания можно повысить, если объединить уравнения (9.18), (9.19) в одно и применить к нему обобщенный метод наименьших квадратов.

Пусть.

Тогда уравнения (9.18)—(9.19) можно записать в виде:

Пусть.

Если уравнения (9.18), (9.19) по отдельности удовлетворяют условиям классической модели, матрицы Z# — скалярные.

Тогда.

есть ковариационная матрица ошибок регрессии уравнения (9.20). Соответственно, оценка обобщенного метода наименьших квадратов уравнения (9.20) имеет вид (7.7):

Для практического применения обобщенного метода наименьших квадратов следует оценить матрицу Z. Это можно сделать, применив метод наименьших квадратов сначала к уравнениям (9.18), (9.19) по отдельности, найти остатки регрессии и принять в качестве оценок матриц выборочные ковариации Cov (e_i9ej). Очевидно, эти оценки будут состоятельными.

Применяя метод одновременного оценивания, можно повысить эффективность косвенного метода наименьших квадратов. Заметим, однако, что если наборы экзогенных переменных в обоих уравнениях совпадают, то оценка одновременного оценивания совпадает с оценкой метода наименьших квадратов, примененного к уравнениям по отдельности. Так, для рассмотренного в § 9.4 примера одновременное оценивание не улучшит качество косвенного метода наименьших квадратов (или, что в данном случае то же самое, двухшагового метода наименьших квадратов).

Процедура одновременного оценивания регрессионных уравнений системы как внешне не связанных реализована в стандартных компьютерных пакетах. В западных эконометрических пакетах соответствующий метод оценивания называется Seemingly Unreleased Regression (SUR) (внешне не связанные уравнения).

Рассмотрим пример из гл. 8. Там была рассмотрена модель вида.

где X — стоимость полуфабриката; У — цена конечной продукции.

Применяя метод инструментальных переменных, получили следующее уравнение:

В этой главе мы усложним модель, составив систему регрессионных уравнений. Будем считать, что стоимость полуфабриката X зависит от суммы цен на сырье, т. е. от величины W — Z + Z2 (предполагается, что оба вида сырья расходуются в равной пропорции — очевидно, это не есть ограничение, а лишь вопрос выбора единиц измерения). Пусть также Z — обобщенный фактор производства конечного продукта. Следующая диаграмма показывает выборочное распределение признака Z.

Рис. 9.3.

Рассмотрим модель вида.

При этом? j, ?2 коррелируют (на них действуют общие факторы, связанные со стоимостью перевозок), так что X — эндогенная переменная. Приведенная форма системы (9.24) имеет вид:

Косвенный метод наименьших квадратов (уравнения (9.25) оцениваются по отдельности) дает следующие значения оценок:

Теперь оценим уравнения (9.25) одновременно как внешне не связанные. Результатом оказываются следующие уравнения:

Отсюда получаем следующие значения оценок:

Очевидно, мы должны считать оценки (9.27) более точными. Заметим при этом, что коэффициент р₂ незначим.