Движение в центральном симметричном поле

Немного теории.

Центральным называют такое силовое поле, в котором потенциальная энергия частицы является функцией только от расстояния r до определенной точки — центра поля: U=U®. Сила, действующая на частицу в таком поле, тоже зависит лишь от расстояния r и направлена в каждой точке пространства вдоль радиуса, проведенного в эту точку из центра поля.

Хотя частица, движущаяся в таком поле, и не представляет собой замкнутую систему, тем не менее для нее выполняется закон сохранения момента импульса, если определять момент по отношению к центру поля. Действительно, поскольку направление действующей на частицу силы проходит через центр поля, то равно нулю плечо силы относительно этой точки, а потому равен нулю и момент силы. Согласно уравнению отсюда следует, что L = const.

(где L — вектор момента импульса, а K момент силы K = [rF]. Уравнение получается из уравнения L = [rp]. Определим производную по времени от момента импульса частицы. Согласно правилу дифференцирования произведения имеем.

Так как — есть скорость V частицы, а p = mv, то первый член есть m [vv] и равен нулю, поскольку равно нулю векторное произведение любого вектора самого на себя. Во втором члене производная — есть, как мы знаем, действующая на частицу сила F. Таким образом, .).

Поскольку момент L = m[rv] перпендикулярен направлению радиуса-вектора r, то из постоянства направления L следует, что при движении частицы ее радиус-вектор должен оставаться все время в одной плоскости — плоскости, перпендикулярной направлению L. Таким образом, в центральном поле частицы движутся по плоским орбитам — орбитам, лежащим в плоскостях, проходящих через центр поля.

Данное уравнение можно записать в виде:

где ds — вектор перемещения материальной точки за время dt. Величина векторного произведешь двух векторов геометрически представляет собой лощадь построенного на них параллелограмма. Площадь же параллелограмма, построенного на векторах ds и r, есть удвоенная площадь бесконечно узкого сектора OAA', описанного радиусом-вектором движущейся точки за время dt. Обозначив эту площадь через dS, можно записать величину момента в виде.

Величина называется секториальной скоростью.

Задача о движении в центральном поле в особенности важна потому, что к ней сводится задача об относительном движении двух взаимодействующих друг с другом материальных точек — так называемая задача двух тел.

Если рассмотреть это движение в системе центра инерции обеих частиц. В этой системе отсчета суммарный импульс частиц равен нулю:

m1v1+m2v2=0,.

где v1, v2 — скорости частиц. Введем также относительную скорость частиц.

v = v1-v2.

Из этих двух равенств получаются следующие формулы формулы.

выражающие скорости каждой из частиц через их относительную скорость.

Подставив эти формулы в выражение полной энергии частиц получим.

где U® — взаимная потенциальная энергия частиц как функция их относительного расстояния r. После простого приведения членов получим.

.

где m обозначает величину.

называемую приведенной массой частиц.

Мы видим, что энергия относительного движения двух частиц такая же, как если бы одна частица с массой m двигалась со скоростью в центральном внешнем поле с потенциальной энергией U®. Другими словами, задача о движении двух частиц сводится к задаче о движении одной «приведенной» частицы во внешнем поле.

Постановка задачи.

Рассмотрим энергию материальной точки в центральном поле сил.

представим (скорость) в полярных координатах.

Рассмотрим треугольник ABD:

ds~AB, следовательно.

.

откуда получаем.

Выразим.

(*).

Осталось выразить характер траектории.

(**).

Подставим выражение (*) в (**).

Проинтегрируем.

Эта формула представляет собой траекторию движения частицы в центральном симметричном поле.

Рассмотрим уравнение движения для случая кулоновского поля.

где.

Попробуем найти этот интеграл предварительно сделав замену.

Сделаем замену ,.

тогда.

Далее применим формулу.

В итоге получаем.

.

где ;

Это уравнение конического сечения с фокусом в центре поля.

При e >1 — гипербола;

e =1 — парабола;

0< e.

e =0 — окружность;

1. Л. Д. Ландау, А. И. Ахиезер, Е. М. Лифшиц «Курс общей физики. Механика и молекулярная физика» Москва 1965 г.

2. Конспект по механике за первый триместр. Лектор Гурачевский В. Л.