Стохастический транспорт, индуцированный квазислучайным телеграфным сигналом

Настоящая работа посвящена исследованию направленного движения в стохастических системах с периодическим потенциалом, а так же проблеме управления этим движением. В последнее время при описании подобных явлений все чаще используют термин «стохастический транспорт» (stochastic transport). Данный класс задач является интересным по нескольким причинам. Во-первых, системы с периодическим потенциалом широко распространены в технике. Например, системы фазовой автоподстройки частоты [1, 2, 3] и синхронизируемый периодическим сигналом автогенератор [4] при некоторых предположениях можно рассматривать как системы с периодическим потенциалом. В условиях флуктуаций их фазовые переменные, как заметил Стратонович, ведут себя подобно броуновской частице [5]. Несколько лет назад выяснили, что броуновское движение в периодических потенциальных полях широко распространено в живой природе — в клетках [6, 7, 8, 9,10]. Оказалось, что движение ионизированных молекул около полимерной цепи есть не что иное как броуновское движение в периодичном потенциальном поле, которое создается за счет периодичности структуры полимера. Кроме перечисленных систем, к данному классу можно отнести и хорошо изученный в теоретической физике контакт Джозефсона [11, 12, 13]. Во-вторых, неожиданным оказалось то, что результаты исследований систем с периодическим потенциалом могут быть полезными не только в радиофизике, биологии и медицине, но и в нанотехнологии [14, 15, 16]. В настоящее время инженеры заимствовали принцип действия молекулярных моторов и пытаются применить его в нанотехнологии для сортировки и направленного перемещения частиц.

Любопытно, но броуновское движение в периодических Потенциальных полях затрагивает проблему обоснования Второго закона термодинамики [17]. На первый взгляд может показаться невероятным, что Второй закон вносит ограничения на поведение, например, системы фазовой автоподстройки частоты, которая подвержена флуктуациям. Хотя ограничения законов термодинамики на движение частиц около полимера кажутся естественными.

Для систем с периодическим потенциалом Второй закон означает, что существует шум с такой статистикой, под действием которого переходы через потенциальные барьеры в противоположных направлениях осуществляются с равной вероятностью, и поток вероятности в среднем равен нулю, причем для потенциальных барьеров любой фи-зичной формы и асимметрии. Такому требованию отвечает белый гаус-совский шум. Его условно называют равновесным и с его помощью описывают тепловые флуктуации. Наиболее ясное физическое объяснение тому, почему гауссовский белый шум является равновесным и не вызывает направленного Движения, дает модель Магалинского [18]. Данная модель представляет собой классическую механическую систему, описывающую тяжелую частицу-осциллятор, который взаимодействует с системой из N свободных осцилляторов. Модель показывает, что действие свободных осцилляторов на частицу может быть двояким. С одной стороны, осцилляторы возбуждают частицу и приводят ее в движение. Поэтому силу со стороны осцилляторов можно называть толчковой. С другой стороны, осцилляторы мешают частице свободно двигаться, что приводит к затуханию ее скорости. Такое взаимодействие играет роль трения. Если число свободных осцилляторов велико, и все они действуют на тяжелую частицу одинаково, то есть имеет место равномерное распределение энергии по степеням свободы как при тепловом равновесии, то, принимая во внимание, что координаты и импульсы всех осцилляторов являются случайными величинами, согласно Центральной предельной теореме теории вероятностей.

19] толчковая сила имеет гауссовское распределение. Модель Магалин-ского является обобщением флуктуационно-диссипационной теоремы.

20] и связывает трение с толчковой силой. В пределе N оо толчковая сила становится ¿—коррелированной, то есть белым гауссовским шумом. В радиофизике очень часто посредством белого гауссовского шума аппроксимируют широкополосную помеху [21, 22] или электродвижущую силу теплового движения электронов в элементах контуров. Но, в отличие от модели Магалинского, здесь белый шум может выступать не только внутренним, но и внешним для системы. В данном случае это не принципиально, поскольку систему с внутренним шумом и систему с внешним шумом описывают уравнения ланжеве-новского типа, то есть стохастические дифференциальные уравнения [23, 24]. В ряде случаев уравнения системы фазовой автоподстройки частоты и броуновского движения в периодичном потенциале совпадают (это будет показано в настоящей работе). Естественно, совпадают и их решения. Поэтому можно проводить соответствующие обобщения результатов, полученных, например, для броуновского движения, на системы фазовой автоподстройки частоты. Подобный подход принят в синергетике — в междисциплинарном направлении, которое использует аналогию в поведении систем различной природы и поэтому интегрировало в себя многие отрасли знания [25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32].

Интерес исследователей к проблеме влияния асимметрии периодического потенциала на поток в стохастической системе был вызван работами Магнеско [6, 7]. В этих работах было показано, что энергия аддитивно приложенной симметрично распределенной коррелированой во времени силы может быть трансформирована в энергию направленного движения частицы. Ценность работ очень велика, поскольку до этого исследовались системы, у которых потенциальные барьеры были симметричны. По сути, дела, Магнеско «открыл» новый класс неисследованных систем.

Как было указано ранее, математическими моделями систем с периодическим потенциалом являются уравнения Ланжевена, причем нелинейные. Нелинейность стохастических уравнений оказывается препятствием на пути решения задачи, в ходе которой требуется найти среднюю скорость изменения фазовой переменной. Сложность решения задачи заключается в том, что среднее от нелинейной функции со случайным аргументом не совпадает с значением этой функции от среднего ее аргумента. По этой причине непосредственным усреднением ланжевеновского уравнения нельзя перейти к уравнению, записанному относительно среднего фазовой переменной, а значит и решать задачу принятым в линейной теории методом [5]. Здесь требуется качественно иной подход. Например, когда шум, генерируемый ланжевеновским источником, является марковским процессом, можно совершить переход к уравнению Фоккера-Планка, которое описывает эволюцию плотности вероятности фазовых переменных. Уравнение Фоккера-Планка для данного класса задач является линейным уравнением в частных производных с периодическим коэффициентом сноса. На сегодняшний день получено несколько его стационарных решений при периодических граничных условиях [33, 34, 35]. Все эти решения относятся к режиму передемпфирования, то есть когда частица движется в условиях большого трения, и ее инерционными свойствами пренебрегают.

К первой группе аналитически решаемых задач относятся системы под аддитивным и мультипликативным действием дискретных шумов с непрерывным временем [33, 34, 35]. Следует отметить, чтобы решение было нетривиальным (ненулевой поток вероятности) необходимо при мультипликативном цветном шуме присутствие аддитивного белого гауссовского шума. Из-за дискретности значений, принимаемых шумом, уравнение Фоккера-Планка преобразуется к так называемым управляющим уравнениям. В стационарном случае управляющие уравнения превращаются в систему связанных обыкновенных дифференциальных уравнений. Если шум имеет конечное число возможных состояний, то, соответственно, и уравнений будет конечное число. Наиболее простое решение имеет задача, когда в качестве аддитивного воздействия выступает случайный телеграфный сигнал. Поскольку дискретных состояний у шума два, то система уравнений будет состоять из двух уравнений первого порядка, причем, проделав необходимую замену переменных и затем подставив одно уравнение в другое, можно перейти к уравнению относительно одной независимой переменной и одной искомой функции. Уравнение первого порядка решается стандартными хорошо разработанными методами [36]. Решение для шумов трех состояний громоздко, но тем не менее его можно использовать для тестирования численных методов, которые оказываются во многих случаях единственными способами решения задачи.

Вторая группа решаемых аналитическими методами задач относится к системам с дискретным фазовым пространством [37]. Задача сводится к решению системы линейных дифференциальных уравнений высокой размерности: от шести и выше.

В других случаях приходится применять приближенные или численные методы решения [38, 39]. Например, можно находить асимптотические решения в пределах малого или большого времен корреляции шума [40]. Для марковских шумов разработан численный метод, который состоит в том, что искомое решение для стационарной плотности вероятности представляют рядом Фурье. Получают незамкнутую цепочку уравнений, связывающих амплитуды гармоник этого ряда. Посредством рекуррентных соотношений задачу решают на компьютере. Таким методом были решены задачи о воздействии на систему с периодическим потенциалом процесса Орнштейна-Уленбека [41] и гармонического шума [42]. Наиболее распространенными методами численного интегрирования стохастических дифференциальных уравнений являются методы, сохраняющие неизменным шаг интегрирования по времени, например, метод Рунге-Кутта [43]. Однако, они обладают существенным недостатком — требуется много компьютерного времени. В связи с этим Элстон и Деринг разработали для данного класса задач численный метод [44], который использует не дискретизацию по времени, как другие численные методы, а дискретизацию фазового пространства.

Тестовые эксперименты показали, что по времени вычисления новый метод интегрирования стохастических дифференциальных уравнений эффективней используемых ранее методов примерно в 25 раз.

Множество интересных результатов было получено за последние пять лет в изучении стохастических систем с периодическим потенциалом. Наиболее хорошо исследован режим передемпфирования, поскольку в таких условиях обычно функционируют молекулярные моторы в клетках [45]. Движение броуновской частицы в асимметричном потенциале под действием аддитивной коррелированной во времени силы х сильно зависит от статистики последней. В [33] показано, что по коэффициенту ф —< г4 > / < г2 >2, где < г4 > и < г2 > - четвертый и второй моменты стационарного симметричного распределения Р (^), можно предсказать направление потока вероятности в пределе малых времен корреляции шума гс. Так как в этом пределе поток оказывается пропорциональным величине (2 — ф), то смена его направления Происходит при ф — 2. Для случайного телеграфного сигнала ф = 1- для гауссовского шума ф = 3. Это означает, что потоки для этих шумов будут иметь встречные направления. На примере дискретного случайного процесса, имеющего только три возможных состояния в [46] было показано, что при малых временах корреляции шума поток направлен в сторону более пологого склона потенциальных барьеров. Но при увеличении времени корреляции шума может произойти смена направления потока, если коэффициент ф превышает значение 1. Причем, смена знака потока произойдет дважды, если ф меньше чем 2: сначала в одну сторону, затем в обратную сторону. Аналогичная смена знака потока наблюдается и при мультипликативном действии случайного процесса с тремя возможными состояниями. Однако, в этом случае требуется асимметрия распределения 2.

Интересной представляется реакция системы с периодическим потенциалом на периодичное во времени аддитивное воздействие [47, 48, 49]. Средний поток за период воздействия квантуется с шагом линейной частоты внешнего воздействия. Подобная ситуация имеет место в системе автоподстройки частоты в присутствии гармонической помехи [50, 51] и означает синхронизацию гетеродина на частотах, кратных разности частот эталонного генератора и гармонической помехи. Дополнительное присутствие белого гауссовского шума оказывает не только сглаживающее действие на систему, но и в некоторых случаях способно сменить направление потока [47]. Это представляется интересным потому, что в детерминистской системе смены знака потока не обнаружено ни при каких параметрах. То есть факт смены направления потока является еще одним примером того, что шум способен вызвать качественно новый режим функционирования системы, отсутствующий в невозмущенной детерминистской системе.

Поведение непередемпфированной системы под действием гармонического сигнала качественно отличается от поведения передемпфированной системы [52]. При некоторых параметрах детерминистская система проявляет хаотическое поведение, характеризуемое положительным старшим ляпуновским показателем. Если взять ансамбль таких осцилляторов с разными начальными условиями в пределах одного периода потенциала, то с течением времени огибающая распределения фазовой координаты примет гауссовский вид. Это говорит о том, что непередемпфированная система при периодическом внешнем воздействии ведет себя качественно как передемпфированная система с шумом. Для того, чтобы сменить направление потока, не требуется присутствие белого шума, достаточно изменить параметры внешнего воздействия: частоту и амплитуду. Очень похожим поведением обладает система фазовой автоподстройки частоты с блоком автоматической регулировки усиления в петле обратной связи [53]. Она даже в автономном режиме способна к хаотическому поведению. Таким же сложным поведением обладают ФАП других конструкций [3, 54].

В настоящее время спектр направлений исследований систем с асимметричным периодическим потенциалом очень широк. Например в [55, 56] рассмотрена ситуация, когда потенциал в себе содержит «ошибки», из-за чего его нельзя считать строго периодическим. Работы [57, 58, 59] посвящены проблеме кооперативного транспорта частиц в асимметричном периодическом потенциале. В [60] рассматривается индуцированный флуктуациями транспорт солитонов. В работах [61, 62, 63] исследуются влияния мультипликативных шумов на движение передемпфированных частиц. Имеются попытки проклассифицировать системы с периодическим потенциалом по характеру внешнего воздействия [64, 65].

Как было указано выше, в настоящее время инженеры заимствовали принцип действия молекулярных моторов и пытаются применить его в нанотехнологии для сортировки и направленного перемещения частиц. В связи с этим, требуется детальное исследование влияния статистики внешних шумовых воздействий на поведенние частиц в асимметричном периодическом потенциале, поскольку управлять движением частиц предполагается именно посредством шума. Современный научно-технический уровень развития подразумевает активное использование компьютерной техники в процессах управления и контроля (см. [66, 67]) за движением частиц. Нетрудно придти к пониманию того, что наиболее удобным на практике было бы применение шумов, которые получены непосредственно на компьютере. В этом случае изменять статистику шума, а значит и управлять движением частиц, можно программным образом.

Основной особенностью компьютерных шумов является то, что они представляют собой цифровые сигналы [68]. Цифровые сигналы квантованы по уровню (дискретные процессы с конечным числом состояний) и времени вероятных смен состояний [69, 70, 71]. Самым простым представителем компьютерных шумов является случайный двоичный цифровой сигнал — квазислучайный телеграфный сигнал (КТС). В названии используется приставка «квази» чтобы отличать от случайного телеграфного сигнала, у которого смена состояний может осуществляться в произвольные моменты времени. Квазислучайный телеграфный сигнал является моделью оцифрованного сообщения, а многие современные приемно-передающие радиоустройства содержат в себе систему фазовой автоподстройки частоты, которую в ряде случаев можно рассматривать как систему с периодическим потенциалом. Следовательно, исследование реакции системы с асимметричным периодическим потенциалом на действие цифрового сигнала представляет интерес и для радиофизики, и для нанотехнологии.

Таким образом, была сформулирована цель работы, которая заключается в исследовании реакции систем с асимметричным периодическим потенциалом на действие аддитивного, а также мультипликативного квазислучайного сигнала.

Для достижения указанной цели необходимо решить следующие основные задачи:

1. Провести теоретическое и экспериментальное обоснование возможности экспериментального изучения динамики систем с простран-ственнопериодическим потенциалом на базе натурного эксперимента с системой фазовой автоподстройки частоты.

2. Построить экспериментальную установку и создать программное обеспечение для контроля и управления экспериментом с компьютера. Создать программное обеспечение для осуществления численного моделирования изучаемых систем на компьютере.

3. Выяснить основные закономерности динамики систем с периодическим потенциалом при аддитивном воздействии квазислучайным телеграфным сигналом. Изучить влияние статистики модулирующего сигнала на динамику системы с пульсирующим потенциалом.

4. Исследовать влияние массы на механизмы генерации направленного движения частиц в системах с аддитивным и мультипликативным воздействием на потенциал.

5. Изучить особенности генерации потока в системе с аддитивным воздействием на потенциал в присутствии дополнительного воздействия бегущей волной.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, списка цитированной литературы и приложения. В первой главе диссертации выводится уравнение системы фазовой автоподстройки частоты и обосновывается выбор подходящей для построения экспериментальной установки функциональной схемы системы. Показываются приближения, при которых система фазовой автоподстройки частоты может быть рассмотрена как система с асимметричным периодическим потенциалом. Получено соотношение, которое позволяет оценивать время, необходимое для проведения экспериментальных измерений с наперед заданной точностью, когда действующий на ФАП шум является медленным. Вторая глава диссертации посвящена исследованию реакции системы с периодическим потенциалом на аддитивный квазислучайный телеграфный сигнал. Основные результаты получены посредством натурного эксперимента и приближенной математической теории. В третьей главе рассматривается реакция системы на мультипликативный квазислучайный телеграфный сигнал в присутствии аддитивного белого гауссовского шума, а также аддитивный процесс Орнштейна-Уленбека. Четвертая глава посвящена исследованию влияния волнового воздействия на систему с аддитивным квазислучайным телеграфным сигналом. Итоги работы подведены в заключении. В приложение вынесено описание основных свойств случайного телеграфного сигнала.

Основные результаты диссертационной работы заключаются в следующем:

1. В диссертации указаны условия, когда математическая модель движения частицы в одномерном периодическом потенциале и модель системы фазовой автоподстройки частоты в присутствии флуктуаций совпадают. Обоснован выбор функциональной схемы экспериментальной установки.

2. Построена экспериментальная установка и создано программное обеспечение для контроля и управления экспериментом с компьютера. Предложенный в диссертации способ экспериментального определения взаимной фазы гармонических колебаний двух генераторов позволил фиксировать изменения взаимной фазы на 2тг (перескоки фазы) с учетом их знака и, таким образом, измерять в натурном. эксперименте величины, эквивалентные средней частоте преодоления частицей потенциальных барьеров и ее средней скорости.

3. Создано программное обеспечение для осуществления численного моделирования на компьютере.

4. Проведено детальное исследование системы с асимметричным периодическим потенциалом путем натурного эксперимента, численного моделирования, а также путем приближенных аналитических методов. В отличие от результатов, известных для других типов случайного сигнала, было установлено, что: а) зависимость средней скорости движения фазовой переменной от амплитуды квазислучайного телеграфного сигнала при аддитивном воздействии имеет более одного максимумаб) график средних частот преодоления потенциальных барьеров в обоих направлениях от амплитуды КТС квантован по уровням в соответствии со его спектром времен пребывания. в) увеличение инерционности системы (что эквивалентно увеличению массы частицы) приводит к понижению средней скорости движения в первом максимуме графика зависимости средней скорости от амплитуды аддитивного шума.

5. Для системы с пульсирующим потенциалом, зависимость средней скорости движения от частоты как для периодической модуляции потенциала, так и для модуляции по закону КТС имеет «резонансный» характер. То есть существует некоторое оптимальное значение частоты модуляции потенциала, зависящее от параметров системы, при которой абсолютная величина средней скорости движения максимальна.

При этом, структура спектра времен пребывания воздействующего сигнала определяет как абсолютное значение максимальной средней скорости, так и широкополосность эффекта. В частности, в области высоких частот модуляция потенциала по закону КТС обеспечивает большую среднюю скорость по сравнению со случаем периодической модуляции.

6. Показана, эквивалентность моделей системы фазовой автоподстройки частоты в присутствии гармонической помехи и системы с периодическим потенциалом и бегущей периодической волной.

В ходе исследований было выяснено, что медленный шум способен индуцировать в системе с периодическим потенциалом и бегущей волной движения частицы, которые можно рассматривать как движения, находящиеся в синхронизме с волной. То есть времена, за которые частица перемещается на расстояние периода потенциала, кратны времени пробега волной одного ее периода.

Заключение

.

В диссертации исследованы явления, связанные с направленным движением, которое индуцированно шумом, в системах с асимметричным периодическим потенциалом. Исследования проводились как методами натурного эксперимента, так и численным моделированием на компьютере.