Интегрирование дифференциальных уравнений установившегося неравномерного движения в открытых призматических руслах

Для расчета кривых свободной поверхности необходимо проинтегрировать уравнение.

.

которое может быть записано в общем виде.

(2).

где .

Проинтегрировав (2), получим формулы для расчета кривых подпора и спада. Для упрощения решения примем некоторые допущения.

Запишем (2), зная, что уклон может быть больше нуля, равен нулю и меньше нуля. Тогда при имеем.

(3).

где знак минус в знаменателе соответствует 0; а знак плюс соответствует 0;

— расход при равномерном движении;

— расход, который пропускало бы данное живое сечение при, соответствующих неравномерному движению, но в условиях равномерного движения, т. е. при гидравлическом уклоне и при .

Расход изменяется вдоль потока, будучи различным по значению в различных сечениях.

При.

.

где — абсолютное значение отрицательного уклона ;

— фиктивный расход, который проходил бы через данное живое сечение при равномерном движении и прямом уклоне, равном .

При из (2) имеем.

.

или.

(4).

где iпроизвольное положительное значение уклона, его часто принимают; - также фиктивный расход, который пропускало бы данное живое сечение при глубине и других параметрах, соответствующих неравномерному движению, но в условиях равномерного движения при уклоне дна, т. е.. Расход изменяется по длине потока.

Отношение равно отношению соответствующих средних скоростей и параметров кинетичности, т. е.

. (5).

При этом и — средняя скорость и параметр кинетичности, которые были бы в данном живом сечении (размеры его соответствуют неравномерному движению), но в условиях равномерного движения.

Таким образом, среднюю скорость можно определить по формуле Шези.

.

Тогда.

. (6).

Для широких русл; .

Параметр также выражают в виде.

(7).

или с учетом введенных в гл. 16 соотношений между элементами живого сечения при равномерном движении, принимая коэффициент по формуле Павловского,.

(8).

где .

Для последующего интегрирования введем новую переменную.

(9).

т. е.

(10).

Как видно из (9) и (10), конкретные условия движения отражены отношением .

При этом хотя и — произвольные, но связаны между собой по (10): приняв по (10), получим значение и наоборот.

Далее принимается допущение.

(11).

откуда.

.

Тогда уравнения (3) можно преобразовать с учетом (10) и (11).

1. Прямой уклон дна, :

или после преобразований.

. (12).

2. Обратный уклон дна, :

или.

. (13).

3. Нулевой уклон дна,, по (4).

или.

. (14).

При расчетах обычно кривая свободной поверхности по длине разбивается на ряд участков.

Обозначим живые сечения в общем виде номерами 1 и 2 и учтем, что по длине параметр изменяется очень мало.

Для интегрирования введем допущение, позволяющее считать на данном участке постоянной величиной, равной.

.

1. Прямой уклон дна, :

(15).

Где. (16).

2. Обратный уклон дна, :

(17).

Где. (18).

3. Нулевой уклон дна, :

(19).

Где. (20).