Условия Лауэ. 
Дифракция рентгеновских лучей

Лауэ определил условия, при которых возникают интерференционные максимумы при рассеянии излучения на узлах кристаллической решетки. Выделим в кристалле узловой ряд в направлении оси x с расстоянием между узлами, а (рис. 2). Если на такой ряд направить под произвольным углом пучок параллельных монохроматических лучей с длиной волны l, то интерференционный максимум будет наблюдаться только в направлениях, для которых все отражения от узлов усиливают друг друга.

Рис. 2 К выводу уравнения Лауэ

Обозначим разность хода между падающим и рассеянным каким-либо узлом ряда лучом. Ее также можно выразить через период ряда и косинусы углов, образуемых этими лучами с линией, связывающей узлы:

(1.11).

где целое число h — индекс интерференции.

Если рассмотреть условия Лауэ для трех некомпланарных направлений, то они будут иметь вид.

.

.

(1.12).

где, ? углы падения рентгеновских лучей на узловые ряды, располагающиеся вдоль направлений соответственно, а k, l? соответствующие индексы интерференции.

Используя понятие обратной решетки и обозначив вектор обратной решетки, уравнения Лауэ (1.12) можно заменить одним интерференционным уравнением. Для этого докажем тождество.

(1.13).

где? осевые векторы прямой решетки,? соответствующие векторы обратной решетки. Вектор обратной решетки, как было показано выше, можно представить в виде.

. (1.14).

Умножим правую и левую части этого выражения сначала на, потом на и на соответственно.; ;, т. к.

.

Это означает, что тождество (1.13) действительно верно.

Если обозначить как единичные векторы, характеризующие направления падающего и рассеянного лучей, то, и. Тогда условия (1.12) можно записать в виде.

;;. (1.15).

Умножим правую и левую части этих уравнений соответственно на и сложим их.

. (1.16).

Учитывая тождество (1.13), получим интерференционное уравнение.

. (1.17).

Это уравнение полностью определяет положение максимумов интерференции и заключает в себе как условие Лауэ, так и условие Вульфа? Брэггов: интерференционный максимум наблюдается тогда, когда дифракционный вектор, по длине и направлению совпадает с вектором обратной решетки .

Проиллюстрируем геометрически интерференционное уравнение в двумерном случае (рис. 2). Такое построение называется построением Эвальда.

Рис. 2. Окружность отражений Эвальда во взаимодействии с плоской обратной решеткой (ВВ — след плоскости (hkl), вектор ей перпендикулярен, q — брэгговский угол)

На двумерную решетку с известными периодами, а и b и углом между ними g в направлении падает плоская монохроматическая волна с длиной l. Определим периоды обратной решетки и построим ее в масштабе. Выберем произвольный узел, А и из него в направлении, обратном, отложим отрезок до точки 0. Из этой точки опишем окружность радиусом (точка 0 не обязательно попадает в какой-либо узел). Все узлы, попавшие на окружность, находятся в отражающем положении. На рис. 1.34 таким узлом является узел С. Для каждого подобного узла три вектора;; удовлетворяют уравнению (1.17).

Покажем теперь, что интерференционное уравнение Лауэ и закон Вульфа? Брэггов эквивалентны друг другу. Векторы и (рис. 1.34) определяют соответственно направления падающего и интерференционного лучей .

Рассмотрим треугольник OAD, в котором сторона. Поскольку из уравнения (1.9) длина вектора обратной решетки обратна значению межплоскостного расстояния, то. Определим из треугольника OAD угол q.

.

Тогда .

Таким образом, условие возникновения интерференционного максимума Вульфа? Брэггов выполняется для узла, попавшего на окружность отражения.

В трех измерения построения представляют собой сферу Эвальда. Такое построение позволяет определить направление интерференционных лучей и индексы узлов обратной решетки, которые соответствуют отражающему семейству плоскостей (HKL) прямой решетки.