Дискретная свертка во временной и частотной областях

Запишем интеграл Дюамеля (формулу свертки):

где х_вх(т), х_вых(0 — входной и выходной сигналы; /г⁸(т) — импульсная переходная характеристика четырехполюсника. При цифровой обработке сигналов вместо обычной свертки используют дискретную. С этой целью разобьем интервал времени 0 — Т_с на N одинаковых интервалов длительностью Д, текущее значение интервала пД обозначим п (0, 1, 2, …, N — 1), дискретизированные значения х_ВЬ1Х(0 обозначим х_выхт, х_вх(т) —х_вхп. В свою очередь,.

Дискретную свертку записывают аналогично свертке обычной:

Для приведения в соответствие с формулой (П5.22) надо выполнить условие A^s(m) = fr^s(n)A, где h^s(m) — безразмерная импульсная характеристика. Дискретную свертку по (П5.23) называют линейной, если х_вхп и h^__n — нулевые вне интервалов их определения, т. е. не являются периодическими. Если х_{вх п} и h^__n имеют соответственно АД и АД отсчетов, то при линейной свертке х_{ВЬ1Х т} имеет длину в АД + АД — 1 отсчетов. Свертку по (П5.23) называют прямой. Она требует АД АД умножений. Дискретную свертку в частотной области вычисляют с помощью алгоритма БПФ и называют ее быстрой или высокоскоростной. С этой целью текущие значения х_{вх п} и h^__n выражают в виде ОДПФ от спектров соответствующих функций:

Тогда.

Д-1 /^{2я (}-^г)п [N, если к = г,

Но Уе n = 1 (вся сумма векторов образует пра;

i₌₀ [0, если к Ф г

вильный замкнутый многоугольник). Поэтому.

Формула (П5.24) означает, что х_выхт есть ОДПФ от произведения СДвх^бАГ. В ней учтено, что г = к, и потому взята одна сумма, а не две.

(суммировать дважды по одному индексу не имеет смысла).

С использованием предыдущих обозначений запишем х_{ВЬ1Х т} в виде

Следовательно,.

Таким образом, коэффициенты ДПФ свертки являются произведениями коэффициентов ДПФ свертываемых функций. Поэтому для вычисления свертки двух последовательностей надо вначале найти их ДПФ, перемножить коэффициенты, а затем применить ОДПФ. Причем для вычисления ДПФ и ОДПФ можно использовать алгоритм БПФ. Однако в этом случае свертка получается циклической или круговой (периодической), а саму процедуру называют теоремой о круговой свертке ДПФ.

При использовании ДПФ и ОДПФ дискретизация во временной области приводит к тому, что спектр выходного сигнала становится периодическим, а при дискретизации в частотной области периодическим становится сам выходной сигнал с периодом, равным числу выборок. Для того чтобы с помощью периодической свертки можно было вычислять линейную, необходимо период круговой свертки сделать равным L = 2^V > (Nj + N₂ — 1) отсчетам. Для этого последовательности x_{BX п} и h% (длиной N₁ и N₂) дополняют до длины L необходимым числом нулевых отсчетов. Затем находят L-точечные ДПФ дополненных последовательностей, перемножают их и выполняют ОДПФ произведения.

Для осуществления быстрой свертки необходимо вычислить два БПФ для L точек и провести L комплексных умножений, т. е. всего.

2^1og₂ll + L комплексных умножений или 4I (log₂I + 1) действительных умножений. Быстрая свертка эффективнее прямой при L > 32.