Двойной интеграл в полярных координатах

Двойной интеграл в полярных координатах

Пусть в двойном интеграле.

(1).

при обычных предположениях мы желаем перейти к полярным координатам r и f, полагая.

x = r cos , y = r sin . (2).

Область интегрирования S разобьем на элементарные ячейки Si с помощью координатных линий r = ri (окружности) и  = i (лучи) (рис.1).

Введем обозначения:

rj = rj+1 — rj,.

i = i+1 — i.

Так как окружность перпендикулярна (ортогональна) радиусам, то внутренние ячейки Si с точностью до бесконечно малых высшего порядка.

малости относительно их площади можно рассматривать как прямоугольники с измерениями rji и rj; поэтому площадь каждой такой ячейки будет равна:

Si = rj i rj (3).

Что касается ячеек Sij неправильной формы, примыкающих к границе Г области интегрирования S, то эти ячейки не повлияют на значение двойного интеграла и мы их будем игнорировать.

В качестве точки Mij  Sij для простоты выберем вершину ячейки Sij с полярными координатами rj и i. Тогда декартовые координаты точки Mij равны:

xij = rj cos i, yij = rj sin i.

И следовательно,.

f (xij, yij) = f (rj cos i, rj sin i) (3 ").

Двойной интеграл (1) представляет собой предел двумерной интегральной суммы, причем можно показать, что на значение этого предела не влияют добавки к слагаемым.

интегральной суммы, являющиеся бесконечно малыми высшего порядка малости, поэтому учитывая формулы (3) и (3 "), получаем:

(4).

где d — максимальный диаметр ячеек Sij и сумма распространена на все ячейки указанного выше вида, целиком содержащиеся в области S. С другой стороны, величины i и rj суть числа и их можно рассматривать как прямоугольные декартовые координаты некоторых точек плоскости Or. Таким образом, сумма (4) является интегральной суммой для функции.

f (r cos, r sin)r,.

соответствующая прямоугольной сетке с линейными элементами i и ri. Следовательно.

(5).

Сравнивая формулы (4) и (5), получим окончательно.

(6).

Выражение.

dS = r d dr.

называется двумерным элементом площади в полярных координатах. Итак, чтобы в двойном интеграле (1) перейти к полярным координатам, достаточно координаты x и y заменить по формулам (2), а вместо элемента площади dS подставить выражение (7).

Для вычисления двойного интеграла (6) его нужно заменить повторным. Пусть область интегрирования S определяется неравенствами.

Где r1(), r1() — однозначные непрерывные функции на отрезке [,]. (рис 2).

Имеем.

(8).

Где.

F (r,) = rf (r cos, r sin).

Пример 1.

Переходя к полярным координатам  и r, вычислить двойной интеграл.

Где S — первая четверть круга радиуса R=1, с центром в точке О (0,0) (рис 3).

Так как.

то применяя формулу (6),.

получим.

Область S определена.

Неравенствами.

Поэтому на основании формулы (8) имеем.

Пример 2.

В интеграле.

(9).

перейти к полярным координатам.

Область интегрирования здесь есть треугольник S, ограниченный прямыми y=0, y=x, x=1 (рис 4).

В полярных координатах уравнения.

этих прямых записываются.

следующим образом: =0,.

=/4, r cos=1 и,.

следовательно, область S.

определяется неравенствами.

Отсюда на основании формул.

(6) и (8), учитывая, что.

имеем.