Равносильное и логическое следование

Равносильность и логическое следование — это всё логические средства, которые используются в процессе изучения уравнений и неравенств. Наиболее важным из них является понятие равносильности.

Onp. 6. Уравнения называются равносильными, если равносильны соответствующие предикаты, то есть если выполнены условия: области определения уравнений одинаковы и множества их корней равны.

Имеются два пути установления равносильности уравнений:

• 1) Используя известные множества корней уравнений, убедиться в их совпадении; например, уравнения х + 1 = х + 2 идг + 1 = х² + 2 равносильны, так как они не имеют корней.
• 2) Используя особенности записи уравнений, осуществить последовательный переход от одной записи к другой посредством преобразований, не нарушающих равносильности.

Для большинства заданий второй путь более характерен, ведь равносильность в теории уравнений как раз и используется для того, чтобы указать конкретные правила для решения уравнений. Однако в преподавании ограничиваться им нецелесообразно, так как он относится только к практическому применению равносильности и требует первого для своего обоснования.

В отношении формирования понятия равносильности и его применения к решению уравнений учебные пособия по алгебре можно разделить на две группы. К первой относятся те пособия, в которых использование равносильных преобразований основано на явном введении и изучении понятия равносильности; ко второй — те, в которых применение равносильных преобразований предшествует выделению самого понятия. Методика работы над понятием равносильности имеет при указанных подходах отличия.

В связи с вопросом равносильности в изучении материала линии уравнений и неравенств можно выделить три основных этапа.

Первый этап охватывает начальный курс школьной математики и начало курса алгебры. Здесь происходит ознакомление с различными способами решения отдельных, наиболее простых классов уравнений. Используемые при этом преобразования получают индуктивное обоснование при рассмотрении конкретных примеров. По мере накопления опыта индуктивные рассуждения всё чаще заменяются такими, где фактически используется равносильность, но сам термин не употребляется. Длительность этого этапа может быть различной в зависимости от методических установок учебника.

На втором этапе происходит выделение понятия равносильности и сопоставление его теоретического содержания с правилами преобразований, которые выводятся на его основе. Длительность этого этапа незначительна, так как на нем происходит только выделение этого понятия и его использование на нескольких теоретических примерах.

На третьем этапе на основе общего понятия равносильности происходит развертывание общей теории, и теории отдельных классов уравнений. Такой стиль характерен для курса алгебры и начал анализа. К числу неравносильных преобразований относится понятие логического следования.

Логическое следование начинает применяться значительно позже равносильности и осваивается как дополнение к нему. При решении уравнений при прочих равных условиях предпочтение отдается равносильному преобразованию; логическое следование применяется лишь тогда, когда равносильного преобразования найти не удается.