Ортонормированность систем функций Радемахера и Уолша

Широкое использование спектрально-частотного представления процессов при исследовании сигналов и систем (преобразование Фурье) связанно с тем, что при гармонических воздействиях колебания сохраняют свою форму при прохождении через линейные цепи и отличаются от входных только амплитудой и фазой. Это свойство используют ряд методов исследования систем, например, частотные методы.

Но при реализации алгоритмов, использующих преобразование Фурье на ЭВМ, необходимо выполнять большое количество операций умножения (миллионы и миллиарды), что занимает большое количество машинного времени.

К числу таких преобразований можно отнести преобразования Уолша и Хаара, которые широко используются в области управления и связи. Преобразования Уолша и Хаара используют кусочно-постоянные функции Уолша, Радемахера, и др., принимающие значения ±1.

В теории вероятностей и в ряде других разделов довольно часто используется система функций Радемахера. Функции этой системы определяются следующим образом: ,.

Для построения функции разделим отрезок [0,1] на равных частей. Введем обозначения и запишем функцию в виде Теорема 1. Функции Радемахера ортонормированны на отрезке [0,1].

Доказательство: Для любого справедливо равенство ортонормирование функция уолш сигнал Полагая для определенности, видим, что в каждом интервале длины содержится четное число интервалов длины. А это означает, что интервал постоянства функции содержит одинаковое число интервалов, в которых и в которых.

Следовательно, при имеем Таким образом, система {} ортонормированна на отрезке [0,1].

В вопросах передачи информации, в цифровой обработке изображений, в некоторых вопросах антенной техники находят все большее применение так называемые функции Уолша. Их можно определить с помощью функций Радемахера следующим образом. Для полагаем и если имеем двоичное представление числа :

то функция Уолша с соответствующим номером определяется соотношением Условимся при этом, что в двоично-рациональных точках равно полусумме предельных значений этой функции слева и справа, т. е.

Теорема 2. Система функций Уолша ортонормированна на [0,1].

Доказательство: Для функций Радемахера выполняется соотношение, то из (5) находим, что при любом во всех двоично-иррациональных точках имеем, а потому Если то в произведении имеется по крайней мере два различных множителя: и. Пусть и функции Радемахера с наибольшими номерами, входящие в произведение. Как отмечалось выше, каждый интервал постоянства функции содержит одинаковое число интервалов, в которых. Поэтому, как и при доказательстве ортогональности функций Радемахера, найдем, что Таким образом, система функций Уолша { ортонормированна на отрезке [0,1].